二、级数的概念 1.定义设n}={an+汤bn}(m=1,2,)为一复数列, oo 表达式∑an=a1+a2+…+an+ : 称为复数项无穷级数 ● 部分和其最前面n项的和 Sn=1+a2+…+Cn称为级数的部分和
二、级数的概念 1.定义 { } { } ( 1, 2, ) , n n n 设 = + = a ib n 为一复数列 = + ++ + = n n n 1 2 1 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 n n s =1 + 2 ++ 称为级数的部分和. 部分和
收敛与发散 如果部分和数列}收敛,那末级数∑α收敛, H-=1 并且极限imsn=s称为级数的和 如果部分和数列sn}不收敛 那末级数∑α发散 说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散 性的基本方法是:利用极限 lim s= n→0
收敛与发散 如果部分和数列{ }收敛, n s , 1 那末级数 收敛 n= n 并且极限lim s s 称为级数的和. n n = → 说明: lim s s. n n = → 利用极限 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 如果部分和数列{ }不收敛, n s . 1 那末级数 发散 n= n
例如级数∑": Sn=1+x++71-2n (z≠1) 由于当z<1时, lim s=lim n→∞1 所以当z<1时级数收敛
, : 0 n= n 例如 级数 z 2 -1 1 n n s = + z + z ++ z 由于当 z 1时, ( 1), 1 1 − − = z z z n z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z = 所以当 z 1时级数收敛
2复数项级数收敛的条件 定理二级数∑an=∑(an+b收敛的充要条件 ∑a和∑b都收敛 证因为Sn=a1+a2+…+an =(a1+a2+…+an)+i(b1+b2+…+bn) R +IT n 5
2.复数项级数收敛的条件 证 因为 n n s =1 + 2 ++ ( ) ( ) 1 2 n b1 b2 bn = a + a ++ a + i + ++ , n n = + i ( ) 1 1 级 数 收敛的充要条件 = = = + n n n n n a ib. 1 1 和 都收敛 = = n n n an b 定理二
根据‘n}极限存在的充要条件: {on}和{xn}的极限存在复数项级数的审敛问题 于是级数∑a和∑b都收敛 (定理二) 实数项级数的审敛问题 判断级数∑(1+)是否收敛? 因为∑q=∑发散;∑b=∑收敛 所以原级数发散
. 1 1 = = n n n 于是级数 an 和 b 都收敛 根据{ }极限存在的充要条件: n s { }和{ }的极限存在, n n 复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题 (定理二) (1 ) 1 1 级数 是否收敛？ = + n n i n ; 1 1 1 因为 发散 = = = n n n n a . 1 1 2 1 收敛 = = = n n n n b 所以原级数发散. 判断