西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第十一章 函数列与函数项级数 11.5函数的幂级数展开

例如f(x) 3C≠0 0、x=0 在x=0点任意可导,且f(0)=0(1=012,…) f(x)的麦氏级数为∑0x 该级数在(-0+∞)内和函数s(x)=0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)

    =  = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n =    =   0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x)  0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导

定理2f(x)在点x的泰勒级数,在U(x0)内收 敛于f(x)兮在U。(x0)内lmRn(x)=0 n→00 证明必要性设(x)能展开为泰勒级数 f(x)=∑ 0(x-x0)2+Rn(x) R,()=f(x)-sm(x),. lims+()=f(x) n→0 lim R,()=limlf(x)-sm+()=0; n→00

定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i =  − + =  ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = →   = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;

6分性:f(x)-sn+1(x)=Rn(x) limf()-m(x)=lim Rn(x)=0 n→0 n→00 即 lim s+(x)=f(x) n→00 f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 定理3设f(x)在U(x0)上有定义,丑M>0,对 Vx∈(xn-R,x0+R),恒有f(x)≤M (n=0,1,2,…),则f(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x0的泰勒级数

充分性 ( ) ( ) ( ),  f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + →  − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即  f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M  0,对 ( , )  x  x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( )  ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数

证明 R,(x)= (5(x-x0)H≤Mxy (n+1) (n+1) n+1 x∈(x0-R2,x0+R) ∑ X-x 在(-∞,+0)收敛, (n+1) n+1 im0=0,故imRn(x)=0, n→)∞(n+1) 1→00 x∈(x0-R,x0+R) 可展成点xn的泰勒级数

证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x   , ( 1)! 1 0 + −  + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + −   = + n n n x x  0, ( 1)! lim 1 0 = + −  + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R

函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤:(1求n= (2)讨论imR,=0或f(x)≤M n→0 则级数在收敛区间内收敛于f(x)

二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n =  → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)