《高等数学》课程教学资源（习题选解）第十一章 常微分方程

第十一章微分方程 习题11-1 1.说出下列各微分方程的阶数： (1) 十 (2)Le-R+9=0: dx xdy-y=0: dx d2 dt C (3)xy"+2y"+x2y=0; (4)(x+y)dy+(7x-6y)=0: (5)y"+2y+y=sinx (6) dpp=sin0. de 解：(1)一阶：(2)二阶；(3)三阶；(4)一阶；(5)二阶；(6)一阶. 2.指出下列各函数是否为所给微分方程的解： (1)xy=2y,y=5x2; (2)y"+y=0,y=3sinx-4cosx, 1 (3)y”=x2+y2,y= (4)y +y=ey=Csmx+Cosx+e 解：(1).y=10x,代入方程得x10x=25x2 ∴.y=5x2是方程的解. (2).y=3cosx+4sinx,y=-3sinx+4cosx,代入方程，得 y"+y=(-3sinx+4cosx)+(3sinx-4cosx)=0 ∴.y=3sinx-4cosx是方程的解. 8):y=少-是代入方程，得 是+村 ∴y=是方程的解。 Y 4来=Ceos-Csmx+杂=-Gm-Gosx+,代入方程， d 得 Csin-CCCo

1 第十一章 微分方程 习题 11－1 1．说出下列各微分方程的阶数： （1） 2 0 dy dy x y dx dx          ； （2） 2 2 0 d Q dQ Q L R dt dt C    ； （3） 2 xy y x y      2 0 ； （4） ( )d (7 6 ) 0 x y y x y dx     ； （5） y y y x      2 sin ； （6） d 2 sin . d       解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （1） 2 xy y y x    2 , 5 ; （2） y y y x x     0 , 3sin 4cos ; （3） 2 2 1 y x y y , ; x     （4） 2 2 1 2 1 , sin cos . 2 d y x x y e y C x C x e dx      解：（1）∵ y x  10 ，代入方程得 2 x x x    10 2 5 ∴ 2 y x  5 是方程的解． （2）∵ y x x y x x        3cos 4sin , 3sin 4cos ，代入方程，得 y y x x x x         3sin 4cos 3sin 4cos 0    ∴ 3sin 4cos y x x   是方程的解． （3）∵ 2 3 1 2 y y, x x      ，代入方程，得 2 3 2 2 1 x x x   ∴ 1 y x  是方程的解． （4）∵ 2 1 2 1 2 2 1 1 cos sin , sin cos 2 2 dy d y x x C x C x e C x C x e dx dx        ，代入方程， 得 1 2 1 sin cos 2 x C x C x e           1 2 1 sin cos 2 x x C x C x e e         

∴y=C sinx+-C,COSx+-e是方程的解. 3.在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： (1)(x-2y)y=2x-y,x2-xy+y2=C (2)(y-x)y+xy2+y-2y=0,y=ln(y) 解：(1)在二元方程x2-xy+y2=C的两边同时对x求导，得 2x-y-xy/+2yy=0 移项后即得 (x-2y)y'=2x-y 故二元方程x2-xy+y2=C所确定的函数是所给微分方程的解. (2)在y)x两边对x求导，得y=10+y)=+兰，即y=y x y xy-x y=y(y=)-0y+y---y-y+y=-y2+2y2-2 (y-x)2 (y-x)2 (xy-x)月 代入微分方程，得 y--+22y+x -2y=0 (y-x) xy-xxy-x 故y=lny)所确定的函数是所给微分方程的解. 4.在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： (1)x2-y+y2=C2,yl0=l (2)y=(C+C2x)e*,ylmo=0,y'lmo=1; (3)x=C cosot+C2sinot,xl=1,xl=0=0. 解：(1)ylk=o=1 ∴.C2=02-0+12=1 即 x2-xy+y2=1 (2)y=(C+Cx+C2)e，由ylo=0,yLo=1,得 C=0 C+C2=1

2 ∴ 1 2 1 sin cos 2 x y C x C x e    是方程的解． 3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： （1）   2 2 x y y x y x xy y C       2 2 , ;  （2）   2 xy x y xy yy y y xy           2 0 , ln( ). 解：（1）在二元方程 2 2 x xy y C    的两边同时对 x 求导，得 2 2 0 x y xy yy       移项后即得  x y y x y    2 2   故二元方程 2 2 x xy y C    所确定的函数是所给微分方程的解． （2）在 ln( ) y xy  两边对 x 求导，得 1 1 ( ) y y y xy xy x y        ，即 y y xy x              2 3 2 2 2 3 y xy x y y xy 1 xy y y xy xy xy 2 2 y xy x xy x xy x                     ， 代入微分方程，得     3 2 2 3 2 2 2 ( ) 2 0 xy xy xy y y y xy x x y xy x xy x xy x xy x                 故 ln( ) y xy  所确定的函数是所给微分方程的解． 4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1） 2 2 2 0 , | 1; x x xy y C y      （2）  1 2 0 0  , | 0 , | 1; x x x y C C x e y y        （3） 1 2 0 0 cos sin , | 1 , | . t t x C t C t x x           解：（1）∵ 0 | 1 x y   ∴ 2 2 2 C =0 0 1 1    即 2 2 x xy y   1 （2）  1 2 2  x y C C x C e     ，由 0 0 | 0 , | 1 x x y y      ，得 1 1 2 0 1 C C C      

..C=0,C,=1,y=xe (3)x'=-C@sin@t+C2 cosot，由xleo=1,x'lo=o,得 C,=1 C20=0 .'C=1,C,=1,x=cosot+sinot 5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： (1)曲线在点(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标的平方： (2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分. 解：(1)设曲线的方程为y=x),则曲线上点(xy)处切线的斜率为y,由条 件知y=x2，此即为所求曲线的微分方程. (2)设曲线的方程为y=),则曲线上点Px,)处法线的斜率为- 由条件知线段PQ中点的横坐标为0，所以Q的坐标为(-x,0),则有 y=0=- x+x y' 即所求曲线的微分方程为 y+2x=0. 习题11一2 1.求下列微分方程的通解： (1)xy'-yIny=0, (2)3x2+5x-5y=0: (3)-x2y=V-y: (4)y'-xy=ay2+y)方 (5)cosxsin ydx+sinxcos ydy=0, (6)ydx+(x2-4x)dy=0 解：(1)原方程可写为x少-yny=0,分离变量，得血=上在 dx yiny x 两端积分，得 ∫= 即 nlny=lnx+lnC=nCx,亦即lny=Cx,故通解为y=eo 3

3 ∴ 1 2 C C =0 , =1， x y xe  （3） 1 2 x C t C t         sin cos ，由 0 0 | 1 , | t t x x       ，得 1 2 C 1 C        ∴ 1 2 C C =1 , =1， x t t   cos sin   5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1）曲线在点 ( , ) x y 处切线的斜率等于该点横坐标的平方； （2）曲线上点 P x y ( , ) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 y 轴平分. 解：（1）设曲线的方程为 y y x  ( ) ，则曲线上点 ( , ) x y 处切线的斜率为 y  ，由条 件知 2 y x   ，此即为所求曲线的微分方程. （2）设曲线的方程为 y y x  ( ) ，则曲线上点 P x y ( , ) 处法线的斜率为 1 y   ， 由条件知线段 PQ 中点的横坐标为 0，所以 Q 的坐标为 ( ,0) x ，则有 y 0 1 x x y      即所求曲线的微分方程为 yy x   2 0． 习题 11－2 1．求下列微分方程的通解： （1） xy y y    ln 0; （2） 2 3 5 5 0; x x y    （3） 2 2 1 1 ;    x y y  （4） 2 y xy a y y       ( ); （5） cos sin d sin cos d 0; x y x x y y   （6） 2 y x x x y d ( 4 )d 0.    解：（1）原方程可写为 ln 0 dy x y y dx   ，分离变量，得 d 1 , ln y dx y y x  两端积分，得 1 1 ln dy dx y y x    即 lnln ln ln ln y x C Cx    ，亦即 ln y Cx  ，故通解为 Cx y e 

(2)原方程可写为少=x+2,两端分离变量并积分，得∫山=小x+本， d 故适解为)+rC （3)原方程可写为=-严 ，两端分离变量并积分，得 dx-x 故通解为arcsiny=arcsinx+C, (4)原方程可写为少=， ，两端分离变量并积分， dx 1-x-a 故通解为二=alnx+a-+C, (5)分离变量，得 C0坐dy=-cx,两端积分，得 sin y sinx 「cosydy=-os~dx’ sin y nsin=-Insinx+C,Insinx.sin=C,故通解为sinx siny=C,其中 C=±e为任意常数. (6)分离变量，得， dx 4x-x2 y 积分，得 = 即1nr-1n(4x+)①F,故通解为(x-4)y=Cx. 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1)y=e2x-',ylx=o=0 (2)c0 xsin)吨=cos)ysin.xdx,y儿o-=平 (3)y'sinx=ylny,yle (4)cst+l+e)sn=0儿w-圣 (5)xdy+2)dx=0,yl=2=y (6)(y2+x)d+(x2y-y)dy=0,yl=o=1. 解：(1)分离变量并积分得，∫ed=erk,即通解为e=e产+C, 由条件儿=0，得1=+C,C=之放满足初始条件的特解。=e+)

4 （2）原方程可写为 3 2 5 dy x x dx   ，两端分离变量并积分，得 3 2 ( ) 5 dy x x dx     ， 故通解为 1 1 2 3 2 5 y x x C    . （ 3 ）原方程可写为 2 2 1 1 dy y dx x    , 两端分离变量并 积分，得 2 2 1 1 1 1 dy dx y x      ，故通解为 arcsin arcsin y x C   . （4）原方程可写为 2 1 dy ay dx x a    ,两端分离变量并积分，得 2 1 1 a dy dx y x a      ， 故通解为 1 a x a C ln 1 y     . （5）分离变量，得 cos cos d d sin sin y x y x y x   ，两端积分，得 cos cos d d sin sin y x y x y x     ， 1 ln sin ln sin y x C    ， 1 ln sin sin x y C   ，故通解为 sin sin x y C ，其中 C eC1  为任意常数. （6）分离变量，得， 2 4 dx dy x x y   积分，得 1 1 4 4 dy dx x x y            ， 即 4 ln ln(4 ) ln ln x x C y     ，故通解为 4 ( 4) x y Cx   ． 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1） 2 0 , | 0; x y x y e y      （2） 0 cos sin d cos sin d , | ; 4 x x y y y x x y     （3） 2 sin ln , | ; x y x y y y e      （4） 0 cos d (1 )sin d 0, | ; 4 x x y x e y y y        （5） d 2 d 0, | 1; x 2 x y y x y     （6） 2 2 0 ( + )d ( )d 0, | 1. x xy x x x y y y y      解：（1）分离变量并积分得， y x2 e dy e dx   ，即通解为 1 2 2 y x e e C   ， 由条件 0 | 0 x y   ，得 1 1 2  C， 1 2 C  ，故满足初始条件的特解 1 2 ( 1) 2 y x e e   ．

(2)分离变量并积分得， ∫siny dy=∫sinx dx, cos y Jcosx 即 -ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC,亦即通解为cosy=Ccosx, 由条件y儿=T,得cosT=Ccos0,C= 4 4 5 故满足初始条件的特解cosx-√2cosy=0. (3)分离变量并积分得， 「ldy=∫csch, vInv 即In(n)=ln(tan+lnC,亦即通解为lny=Ctan, 由条件列产e,得ne=Cm子，C=l,故清足初始条件的特解n)=tm (4)分离变量并积分得，一∫am心=ek,通解为1+)sy=C, 由条件y儿=牙，得C=2万，故满足初始条件的特解1+e)secy=25. (5)分离变量并积分得， ∫=一，通解为y=C 由条件y儿-2=1，得C=4,故满足初始条件的特解x2y=4. (6)分离变量并积分得， ∫=可本，通解为-r+)=C 由条件yl=0=1,得C=2,故满足初始条件的特解(1-x2)1+y2)=2. 3.求下列齐次方程的通解： (1)y-y-y-x2=0 (2)x y (3)(x2+y2)dx-dy=0 (4)(x3+y3)dr-3xy2dy=0: (5)y=e+y 60+2+2e-}=0 解：1①原方程可写为安士+)-1，令u=士，则y=m, 少=u+xd J

5 （2）分离变量并积分得， sin sin d d cos cos y x y x y x    ， 即     ln(cos ) ln(cos ) ln y x C， 亦即通解为 cos cos y C x  ， 由条件 0 | 4 x y    ，得 cos cos0 4 C   ， 1 2 C  ， 故满足初始条件的特解 cos 2cos 0 x y   ． （3）分离变量并积分得， 1 csc ln dy xdx y y    ， 即 ln(ln ) ln(tan ) ln 2 x y C   ，亦即通解为 ln tan 2 x y C ， 由条件 2 | x y e    ，得 ln tan 4 e C   ，C 1 ，故满足初始条件的特解 ln tan 2 x y  ． （4）分离变量并积分得， tan 1 x x e ydy dx e      ，通解为 (1 )sec x   e y C， 由条件 0 | 4 x y    ，得 C  2 2 ，故满足初始条件的特解 (1 )sec 2 2 x   e y ． （5）分离变量并积分得， 1 2 dy dx y x     ，通解为 2 x y C 由条件 2 | 1 x y   ，得 C  4 ，故满足初始条件的特解 2 x y  4． （6）分离变量并积分得， 2 2 1 1 y x dy dx y x      ，通解为 2 2 (1 )(1 )    x y C 由条件 0 | 1 x y   ，得 C  2 ，故满足初始条件的特解 2 2 (1 )(1 ) 2    x y ． 3．求下列齐次方程的通解： （1） 2 2 xy y y x      0; （2） d ln ; d y y x y x x  （3） 2 2 ( )d d 0; x y x xy y    （4） 3 3 2 ( )d 3 d 0; x y x xy y    （5） ; y x y y e x    （6） (1 2 )d 2 1 d 0. x x y y x e x e y y           解：（1）原方程可写为 2 1 dy y y dx x x          ，令 y u x  ，则 y ux  , d d , d d y u u x x x  