《高等数学》课程教学资源（习题选解）第七章 多元函数微分学

习题7-1 1.已知函数fx,y)=x2+y2-oytanx,试求fc,). f(.)=()+(o)-(x)(o)tan=r(x'+-xytn)=rf(xy). 2.已知函数f(x,y)=(x+y)-,求f(2,3),f(x+y): 解(2,3片#少少材 3. 已知f心x+y为=-只，求f,川 解+y=,兰=品，少=则 故 f(x,以=r0- 1+y 2,0y≠-0 4.求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形： (1)z=n(y): (2)z=arcsin(3-x2-) Vx-y (3)z=In(y-x)+ F w (5)u=VR2-x2-y2-z2+ (R>0); V2+y2+2-r2 解(1){x,yx>0,y>0或x<0,y<0: (2){x,y)2≤2+y≤4，x>y2}: (3)y-x>0,x≥0且1-x2-y2>0,故函数的定义域为， D={xyy>x≥0，x2+y<. w后长s (5)R2-x2-y2-z2≥0且x2+y2+z2-r2>0,故函数的定义域为

1 习题 7-1 1. 已知函数 2 2 ( , ) tan x f x y x y xy y    ，试求 f tx ty ( , )． 解        2 2 2 2 2 2 ( , ) tan ( tan ) ( , ) tx x f tx ty tx ty tx ty t x y xy t f x y ty y        ． 2. 已知函数 ( , ) ( ) , (2,3),       x y f x y x y f f x y y 求 ， ． 解   1 (2, 3)= , =( 2 ) 5 x f f x y y x y   ， ． 3. 已知   2 2 ( , ) ,    y f x y x y f x y x 求 ， ． 解 令 , y x y u v x     , 1 1 u uv x y v v     ，则   2 2 2 1 ( , ) 1 1 1 u uv u v f u v v v v                  ， 故   2 (1 ) , ( 1) 1 x y f x y y y      ， ． 4. 求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形： （1） z xy ln( ) ； （2） 2 3 2 arcsin(3 ) x y z x y     ； （3） 2 2 ln( ) 1 x z y x x y      ； （4） 2 2 2 2    1 x y z a b ； （5） 2 2 2 2 2 2 2 2 1 u R x y z x y z r         （R>r>0）; 解 （1） ( , ) 0, 0 0, 0 x y x y x y     或  ； （2）   2 2 2 ( , ) 2 4, x y x y x y     ； （3） y x  0， x  0 且 2 2 1 0    x y ，故函数的定义域为，   2 2 D x y y x x y      ( , ) 0, 1 ． （4） 2 2 2 2 ( , ) 1             x y x y a b ． （ 5 ） 2 2 2 2 R x y z     0 且 2 2 2 2 x y z r     0 ， 故函数的 定义域 为

D={x,y2r2<x2+y2+22≤R2} 5.求下列各极限： (1)lim- 1-y (2)lim 2-Vy+4 02+ (3)lim sin(xy) (4)lim 1-cos(x2+y2) 场2y 0(x2+y2)eF 解)+多1： (2)lim 2-Vy+4 =lim- -xy =lim、 -1 、1 8 8w2+Vy+482+Vy+44 (3)lim sin(xy) =lim [1 sin(xy)_1 2 1。y2=lim,,·lim (4)lim 8(x2+y2)e Fms=1lim 020 2 6从四fx0)=0,mf八x2)=亏，能否断定四fx,)不存在？ r r0 y-0 答因为函数f(x,y)沿不同路径的极限不相等，所以极限imf(x,y)不存在. -0 7.函数：=广+2在何处是间断的？ y2-2x 解为了使函数的表达式有意义，需要y-2x≠0，所以曲线y2-2x=0上的点均 是函数：=+2x 的间断点。 y2-2x 8.证明：极限lim nx+y不存在。 3x-y 正当点P(x)沿x轴→0,0)时，imX+y=imX-1:当点P(x,)沿y轴 30x-yx →(0,0)时，1mx+y=1im上=-l,所以imX+上极限不存在。 x-yy 0x-y 0

2   2 2 2 2 2 D x y z r x y z R      ( , , ) ． 5. 求下列各极限： （1） 2 2 0 1 1 lim x y xy  x y    ； （2） 0 0 2 4 lim x y xy  xy    ； （3） 2 2 0 sin( ) lim   x y xy x y ； （4） 2 2 2 2 0 2 2 0 1 cos( ) lim ( ) x x y y x y x y e      ； 解 （1） 2 2 0 1 1 lim =1 x y xy  x y    ； （2） 0 0 0 0 0 0 2 4 1 1 lim =lim =lim = x x x 2+ 4 2+ 4 4 y y y xy xy       xy xy xy xy      （   ） ； （3） 2 2 2 0 0 sin( ) 1 sin( ) 1 lim lim x x 2 y y xy xy   x y x xy            （4） 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 cos( ) 1 1 cos lim lim lim 1 lim 0 ( ) 2 x x t t x y x y y y x y t t     x y e e t t            6. 从 0 0 1 2 lim ( ,0) 0, lim ( , )   2 5   x x f x f x x ，能否断定 0 0 lim ( , )   x y f x y 不存在？ 答 因为函数 f x y ( , ) 沿不同路径的极限不相等，所以极限 0 0 lim ( , )   x y f x y 不存在． 7. 函数 2 2 2 2 y x z y x    在何处是间断的？ 解 为了使函数的表达式有意义，需要 2 y x   2 0 ，所以曲线 2 y x   2 0 上的点均 是函数 2 2 2 2 y x z y x    的间断点． 8. 证明：极限 0 0 lim x y x y  x y    不存在。 证 当点 P x y ( , ) 沿 x 轴 (0,0) 时， 0 0 0 lim lim =1 x x y x y x   x y x     ；当点 P x y ( , ) 沿 y 轴 (0,0) 时， 0 0 0 lim lim 1 y y x x y y   x y y        ，所以 0 0 lim x y x y  x y    极限不存在．

习题7-2 1.求下列函数的偏导数： (1)z=xy-yx: (2)==arctan (3)z=√n(y): （4)2=sin()+cos2():(5)=+r 0： (6)z=(1+y)P. 解) 点=y以容-3w2 1 (2) y 0x1+ =,x+3 1 (3) ax 2x In(xy) ay 2y In(xy) (4) 产=yo0s()+2cos(g)-sm小y=J[cos)-sin2g),根据对称 性可知： 等-caaw)sm2]: 付因为5=+-“+：，所以应=是是，西=“ (6) =0+y:又因为z=(0+9yy=em),所以 a =e y 2.设fx,y)=x+y-Vx2+y2,求f(3,4),f(3,4) 解因为f(x,y)=1- X 所以B4=子a利= 3设=+0-acmE 求f(x,)及f(0,)。 解因为f(x,)=x,所以f(x,)=1,f(0,)=1. 3

3 习题 7－2 1．求下列函数的偏导数： （1） 3 3 z x y y x   ； （2） arctan x z y  ； （3） z xy  ln( ) ； （4） 2 z xy xy   sin( ) cos ( ) ； （5） 2 2 u v s uv   ； （6） (1 ) y z xy   ． 解 (1) 2 3 3 2 3 , 3 z z x y y x xy x y         ； (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1 1 x z y z x y y x x y y x y x x y y               ； (3) 1 1 , 2 ln( ) 2 ln( ) z z x y x xy y xy       ； （4） cos( ) 2cos( ) sin( ) cos( ) sin(2 )     z y xy xy xy y y xy xy x          ，根据对称 性可知： cos( ) sin(2 ) z x xy xy y     ； (5) 因为 2 2 u v u v s uv v u     ，所以 2 s v 1 u v u     ， 2 s u 1 v u v     ； （6） 2 1 (1 ) z y y xy x      ；又因为 ln(1 ) (1 ) y y xy z xy e     ，所以 ln(1 ) ln(1 ) (1 ) ln(1 ) 1 1 z x xy y xy y e xy y xy xy y xy xy                          ． 2．设 2 2 f x y x y x y ( , )     ，求 (3,4), (3,4) x y f f ． 解 因为 2 2 x ( , ) 1 x f x y x y    ， 2 2 y ( , ) 1 y f x y x y    ， 所以 2 1 (3,4) , (3,4) 5 5 x y f f   3. 设 ( , ) ( 1)arcsin x f x y x y y    ，求 ( ,1) x f x 及 (0,1) x f 。 解 因为 f x x ( ,1)  ，所以 f x x ( ,1) 1  ， f x (0,1) 1  ．

4.设f(x,y)= +,2+y20 ，求f(0,0),f(0,0) 0, x2+y2=0 f0,0)=mf,0)-f0,0=-1lm0-0=0.同理f0,0=0. 解 r- 5.设：=G+,证明：+y产= 2 证因为产- 1 2+所以袋+空 02 ax2√(NF+V)' 2 6.求下列函数的二阶偏导数： (1)z=y:(2)z=sin2(m+by):(3)2=x4+y-4x2y2。 解（①） 会=y 2 a=J广n2y, 或， 8 O=x-y, y+y.-y(lny+D. Oxoy y (2) 产=2 sin(ax+-b)cosfax+-by-a=asin2(cx+b刎)， &x =2sin(x+by)cos(x+by)b=bsin2(aby). oy 82 ar2 =acos2(ax+by).2a=2a'cos2(ax+by), 82 0y2 =bcos2(ax+by).2b=2b2cos2(ax+by), ==acos2(ax+by).2b=2abcos2(@x+by)= 82 Oxoy yox (3) =4r2-8gy72, &x 正=4y2-8x2y, 器-2r-8=l2r-, 03三=-16y:

4 4．设 2 2 2 2 2 2 sin , 0 ( , ) 0, 0 y x x y f x y x y x y            ，求 (0,0), (0,0) x y f f 解 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0 x (0,0) lim lim 0 x x f x f f   x x      ，同理 f y (0,0) 0  ． 5．设 z x y   ln( ) ，证明： 1 2 z z x y x y       。 证 因为 1 1 , 2 ( ) 2 ( ) z z x y x x y y x y         ，所以 1 2 z z x y x y       ． 6．求下列函数的二阶偏导数： （1） x z y  ； （2） 2 z ax by   sin ( ) ； （3） 4 4 2 2 z x y x y   4 。 解 (1) ln z x y y x    ， 2 2 2 ln z x y y x    ， z x 1 xy y     ， 2 2 2 ( 1) z x x x y y      ， 2 1 1 1 ln ( ln 1) z x x x xy y y y x y x y y           ． （2） 2sin( )cos( ) sin 2( ) z ax by ax by a a ax by x         ， 2sin( )cos( ) sin 2( ) z ax by ax by b b ax by y         ， 2 2 2 cos2( ) 2 2 cos2( ) z a ax by a a ax by x        ， 2 2 2 cos2( ) 2 2 cos2( ) z b ax by b b ax by y        ， 2 2 cos2( ) 2 2 cos2( ) z z a ax by b ab ax by x y y x             ． （3） 3 2 4 8 z x xy x     ， 3 2 4 8 z y x y y     ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 8 , 12 8 , 16 z z z x y y x xy x y x y              ．

7.设f)y=±+2，求f0、f1,0,2)、f(0,-1,0)及f(2,0,)。 解f(0,0,1)=2,f(1,0,2)=2,f=(0,-1,0)=0,f-(2,0,1)=0. 8.设z=ey+xln(y),求 8及 x200· 解 在=e+ln()+x·y=ew+ln(y)+l, 1 a-yeye 0 x Oxoy =2e"+xy2e, =xe”+X dy 'x=xe+x 02 1 xy ，=-,=". 9.验证：u= 万e满足方程-u 1-x t 证因为 + 412= 42 0益器兰意 4t2 所以 ou u ot 0x2 习题7一3 1.求下列函数的全微分： (1)z=x2y+y2 (2)z=e*sin(x+y); (3)z= Vt: (4)u=(y). (1)dz=2xydx+(x2+2y)dy: (2)dz=e*[sin(x+y)+cos(x+y)ldx+e*cos(x+y)dv:

5 7．设 2 2 2 fxyz xy yz zx (,,)    ，求 (0,1) xx f 、 (1,0,2) xz f 、 (0, 1,0) yz f  及 (2,0,1) zzx f 。 解 f f f f xx xz yz zzx (0,0,1) 2, (1,0,2) 2, (0, 1,0) 0, (2,0,1) 0      ． 8．设 ln( ) xy z e x xy   ，求 3 2 z x y    及 3 3 z y   。 解 1 ln( ) ln( ) 1 z xy xy ye xy x y ye xy x xy           ， 2 2 2 2 z xy xy 1 1 y e y y e x xy x        ， 3 2 2 2 z xy xy ye xy e x y      ， z x xy xy 1 xe x x xe y xy y         ， 2 2 2 2 z x xy x e y y     ， 3 3 3 3 z x xy 2 x e y y     ． 9．验证： 2 4 1 x t u e t   满足方程 2 2 u u t x      ． 证 因为 2 2 2 2 4 4 2 2 3 1 1 1 ( 2 ) 2 4 4 x x t t u x u x t e e t t t t t           ， 又 2 4 1 2 4 2 x t u x x e u x t t t               ， 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 2 4 u u x u u x x u x t u x t t x t t t t                      ， 所以 2 2 u u t x      ． 习题 7－3 1．求下列函数的全微分： （1） 2 2 z x y y   （2） sin( ) x z e x y   ； （3） 2 2 y z x y   ； （4） ( )z u xy  ． 解 （1） 2 dz xydx x y dy    2 ( 2 ) ； （2） [sin( ) cos( )] cos( ) x x dz e x y x y dx e x y dy       ；