《高等数学》课程教学资源（习题选解）第四章 不定积分

第四章不定积分习题全解 习题4-1 1.选择题 (1)设f(x)有连续导数，下列等式中正确的结果是(A). (A)J/d=f)(B)∫fxd=f)(C)∫)=f)(D)dfx=f) (2)在区间(a,b)内的任一点x,如果总有f()=gx)成立，则下列各式中必定成 立的是(C). (A)f(x)=g(x) (B)f(x)=g(x)+1 (C)f(x)=g(x)+C (D) [xJ-[jg(a] ③)设1=片，则1=B) (A)-3x4+C B)京+c(C)+c0)+c (4)若nx是函数fx)的原函数，那末f)的另一原函数是(A) (A)Inlaxl; (B)IInlaxl ;(C)Inlx+al (D)(Inx) 2.填空题 (1)己知fxd=ln1+x2)+C,则fx)=。 f'(x)= 解，应填：=2经) 2-2x2 1+x2F ②已知eヅ，则 解：应填：f(x)=ln(arctanx+C). (3)若f"nx)=1+x,且f0)=1,则fx)= 解：应填：f(x)=x+e。 (④)若∫f(xr=x-x+C,则f)= 解：两边求导得f'(x3)=4x3-1,令x3=u,得f"(4t,所以

1 第四章 不定积分习题全解 习题 4-1 1．选择题 (1) 设 f (x) 有连续导数，下列等式中正确的结果是（ A ）． （A） ( )d ( ) d d f x x f x x   （B） f (x)dx  f (x)  （C） df (x)  f (x)  （D） d f (x)dx  f (x)  (2) 在区间 ( , ) a b 内的任一点 x ，如果总有 f x g x   ( ) ( )  成立，，则下列各式中必定成 立的是（ C ）． （ A ） f x g x ( ) ( )  （ B ） f x g x ( ) ( ) 1   （ C ） f x g x C ( ) ( )   （ D ） f x x g x x ( )d ( )d              (3) 设 I   x x d 1 3 ，则 I  （B ）． （A） x C 4 3 （B） C x   2 2 1 （C） x C 2 2 1 （D） x  C 2 2 1 （4）若 ln | | x 是函数 f (x) 的原函数，那末 f (x) 的另一原函数是（ A ） （A） ln | | ax ； （B） 1 ln | | ax a ；（C） ln | | x a  ； （D） 1 2 (ln ) 2 x 。 2．填空题 (1) 已知 2 f x x x C ( )d ln(1 )     ，则 f x( )  ， f x ( )  ． 解：应填： 2 2 2 2 2 2 2 ( ) , ( ) 1 (1 ) x x f x f x x x       ， (2) 已知   ( ) 2 1 1 f x e x    ，则 f x( )  ． 解：应填： f x x C ( ) ln(arctan ).   (3) 若 f (ln x) 1 x ，且 f (0) 1  ，则 f x( )  ． 解：应填： ( ) x f x x e   。 (4) 若 3 4 f x x x x C ( )d     ，则 f x( )  ． 解：两边求导得 3 3 f x x ( ) 4 1   ， 令 3 x u  ， 得 f u u ( ) 4 1   ，所以

f()=22-u+C,即f(x)=2x2-x+C。故应填：f(x)=2x2-x+C。 3.求下列不定积分 (I)∫x乐d: 解：j=x=x+c. 2∫： 解∫=小h=-子+c 3 (3)∫x2+12dr: 解J+-+2+Is-写+号r+r+c. ④： 解：∫'=-∫=2-号+c o0 dx o 解： Jx2(x2+1) (7)1 cos2x -dx: cosx-sinx 解： cos2x -j-jas4aa=am4c cosx-sinx 或 a-片s-eh+a-分mx+分+C 2

2 2 f u u u C ( ) 2    ，即 2 f x x x C ( ) 2    。故应填： 2 f x x x C ( ) 2    。 3．求下列不定积分 (1)  x x dx ； 解： 3 5 2 2 2 5 x xdx x dx x C      。 (2)  x x x d 1 2 ； 解： 5 3 2 2 2 1 2 3 dx x dx x C x x         。 (3) 2 2 ( 1) d x x   ； 解： 2 2 4 2 5 3 1 2 ( 1) d ( 2 1)d 5 3 x x x x x x x x C           。 (4) 1 d x x x   ； 解： 1 1 2 3/ 2 d d d 2 3 x x x x x x x C x x x          。 (5) 2 2 d (1 ) x x x   ； 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 d arctan ( 1) ( 1) 1 x x x dx dx dx x C x x x x x x x                 。 (6)    x x x x d ( 1) 1 3 2 2 2 ； 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 d d d d 2 1 1 1 arctan ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x C x x x x x x x                  。 (7) cos2 d cos sin x x x x   ； 解： 2 2 cos2 cos sin d d (cos sin ) sin cos cos sin cos sin x x x x x x x dx x x C x x x x             ， 或 2 2 2 2 1 cos 1 cos 1 1 1 1 sec tan 1 cos2 2cos 2 2 2 2 x x dx dx xdx dx x x C x x             

(8) 解 (9)[(e*+2cosx+x)dx: 解je+2esx+万r址=jet+2cost+可rd=e+2snx++c. (10）j2rG-+3Ed: 解25-t3=je-存+3如-2-2+h+C x (11) sin2x dx: sin2x·cosx 解 sin2x sin2x-cosx F2secx+C。 1 (sin [Gsin(+in)cotx-x+C. 4. 己知F)是x的一个原函数，求dF(sin). 解 由于dF(s刘F(sam,由题意知F)=h,因而 F'(sinx)= Insinx sinx ,所以dF(sinx)=Insinx.cosd sinx 5.己知某物体沿直线作变速运动，在t时刻的加速度为a(t)=e,求启动后t时 刻行驶的路程及t=5时所走的路程。 解设物体沿直线运动方程为s=5(),运动速度为v=),由题设 v=(归d年'，所以v=t=et=-+G。再由 v(9→C=0 s() 则 st)=「(-e+1)d,=e+t+C2,s0)=0,→C2=l,故s(t)=e+t-l,s(⑤)=e5+4. 3

3 (8) 2 4 1 d 1 x x x    ； 解： 2 2 4 2 2 2 1 1 1 d d d arcsin 1 (1 )(1 ) 1 x x x x x x C x x x x              。 (9) 3 (e 2cos 2 )d x  x x x  ； 解 3 (e 2cos 2 )d x  x x x      x  x x  x x x e d 2 cos d 2 d 3 x x C x     4 4 2 e 2sin ． (10) x x x x x x x d (2 3 )  2   ； 解 x x x x x x x d (2 3 )  2   x x x x C x x         )d 2 2 3ln 1 3 1 (2 ． (11) 2 sin d sin 2 cos x x x x   ； 解 2 2 2 2 sin sin sin 1 d d d sec tan d sin 2 cos 2 2sin cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x          1 sec 2  x C。 (12) 2 2 (sin cot )d 2 x  x x  ． 解 2 2 2 1 1 (sin cot )d [ (1 cos ) (csc 1)]d ( sin ) cot . 2 2 2 x           x x x x x x x x x C   4. 已知 F(x) 是 x ln x 的一个原函数，求 dF(sin x) ． 解 由 于 dF(sin x)  F(sin x)cos xdx ， 由 题 意 知 x x F x ln ( )  ，因而 x x F x sin ln sin (sin )  ，所以 d d lnsin (sin ) cos sin x F x x x x   ． 5．已知某物体沿直线作变速运动，在 t 时刻的加速度为 ( ) t a t e  ，求启动后 t 时 刻行驶的路程及 t 5 时所走的路程。 解 设 物 体 沿 直 线 运 动 方 程 为 s s t  ( ) ， 运 动 速 度 为 v v t  ( ) ，由题设 ( ) ( ) t v v t a t e       ，所以 1 ( ) d t t v v t e t e C         。 再 由 1 v C (0) 0, 1,    ( ) ( ) 1, t s t v t e       则 2 ( ) ( 1)d , , t t s t e t e t C          2 s C (0) 0, 1,    故 ( ) 1, t s t e t     5 s e (5) 4.   

习题4-2 1.选择题 )设1=小3，则1=(C) (A)In3-4+C (B)邮-4+c(c)-邮-4树+c (D)3-4+c (2)若F)是fx)的一个原函数，则∫xf2nxr=(A). (A)F(2n)+C (B) F(h:x)+C (C)2F(Inx)+C (D)2F2nx)+C ®)设1=小6，则1=(D》 (A)arcsinx+C (B)3arcsin+C (C)-arcsinC (D)aresin+c 3 3 3 3 (④)已知/)=e，则fnr=(B). )+C (B)1+C (C)-Inx+C (D)Inx+C (5)下列等式中，正确的是(B)。 (A)fx)dr=kfx)dr（k是常数)： (B) +C: cosxcosx 2cos2x 1 (C)[f(@x+b)dx=f(ax+b)+C: D)∫6r+ad=写r++C 2.填空题 (1)x(3x2+2)dr=d 解：应填： 3x+x2+C: ()d 解：应填： arctan+C; (3)e*dx= 解：应填：dl-er): (4) - dx= 解：应填：dN1-x2): 3.求下列不定积分 ⑩jd: 解5g2-53n)+c 3 (2)∫x2edr: 4

4 习题 4-2 1．选择题 (1) 设 I    x x d 3 4 1 ，则 I  （C ）． （A） ln 3 4   x C （B） ln 3 4x C 4 1 （C） ln 34x C 4 1 （D） ln 3 4x C 3 1 (2) 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则    x f (2ln x)dx 1 （A ）． （A） F(2ln x) C 2 1 （B） F(ln x) C 2 1 （C） 2F(lnx)C （D） 2F(2ln x)C (3) 设 I    x x d 9 1 2 ，则 I  （ D ）． （A） arcsinx C 3 1 （B） C x  3 3arcsin （C） 1 arcsin 3 3 x  C （D） C x  3 arcsin (4) 已知 x f x  ( )  e ，则    x x f x d (ln ) （B ）． （A） C x   1 （B） C x  1 （C）ln x  C （D） ln x  C （5）下列等式中，正确的是（B ）。 （A） k f x x k f x x ( )d ( )d    （ k 是常数）； （B） 2 1 1 1 d cos cos 2cos C x x x    ； （C） f ax b x f ax b C ( )d ( )      ； （D） 2 3 1 ( )d 3 x a t x ax C      。 2．填空题 (1) 2 x x x (3 2)d d_______.   解：应填： 3 4 2 4 x x C   ； (2) 4 d 1 x x x   d________ 。 解：应填： 1 arctan 2 C ； (3) 1 2 - e dx x  __ 。 解：应填： 1 d(1 e ) 2  x  ； (4)   x x x d 1 2 __ 。 解：应填： 2 d( 1 )  x ； 3．求下列不定积分 (1)   x x x d 5 3 2 2 ； 解： 2 2 2 2 2 1 (5 3 ) 1 ln(5 3 ) 5 3 3 5 3 3 x d x dx x C x x          。 (2) 3 2 d x x e x   ；

解：∫xea-jfeu=-e+c (3)∫xW2+x2: 解：j2+d=打2+d2+x)2+xy+C. 解： sind-2fsin rd()--2c+C (5)∫sm2x-e2d: 解jm2x-eh=s2x-2+C (6)r Jx6+2n对 解： dx x(5+2Inx)2 1rd5+2ny=2nl5+2nx刘+C。 5+2Inx 2 (7)∫tan3 xsecxdx: 解：jmre达=小tn0-J(wx--ldcc- .sec3x-secx+C。 (8）)「coso1+p)sin(o1+p)d1: 解： jood )sinirin) 1 sin2(ot+p)+C。 2 (9).d sinxcosx 解： dx 1 J sinxcosx tanxcos2 -dx= dtanx=Inltanxl+C。 tanx aojee: e 解： J(e)2+ =arctane+C。 解 5

5 解： 3 3 3 2 3 1 1 d d 3 3 x x x x e x e x e C          。 (3) x 2 x dx 2   ； 解： 2 2 2 2 3/2 1 1 2 d 2 d(2 ) (2 ) 2 3 x x x x x x C          。 (4)  u u u d sin ； 解： sin 2 sin ( ) 2cos u du ud u u C u       。 (5) x x x (sin 2 e )d 2   ； 解： /2 /2 1 (sin 2 ) cos2 2 2 x x x e dx x e C       。 (6)  ( 5  2ln ) d x x x ； 解： 1 (5 2ln ) 1 ln | 5 2ln | (5 2ln ) 2 5 2ln 2 dx d x x C x x x          。 (7)  tan xsec x dx 3 ； 解： 3 2 2 3 1 tan sec tan (sec ) (sec 1) (sec ) sec sec 3 x xdx xd x x d x x x C          。 (8) cos( t  )sin( t  ) d t  ； 解： 1 cos( )sin( ) sin( ) (sin( ))         t t dt t d t         1 2 sin ( ) 2   t C     。 (9)  x x x sin cos d ； 解：  x x x sin cos d 2 1 d tan d ln | tan | tan cos tan x x x C x x x       。 (10) x x x d e e 1    ； 解： 2 1 ( ) arctan ( ) 1 x x x x x d e dx e C e e e         。 （11)   x x x d 2 5 2 ； 解： 2 2 2 2 1 (2 5 ) 1 2 5 2 5 2 5 10 5 x d x dx x C x x           