习题6-1 1.设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a、b、c表示2u-3v. 解2u-3v=5M-11b+7C. 2.试用向量证明：三角形两边中点的连线平行且等于底边的一半. 解设三角形ABC中，E是BC的中点，F是AC的中点（图6一1），则 正-瓜、F=)C 又EF=AF-AE,BC=AC-AB 所以F=(ac-©)=8C, 图6-1 即EF平行且等于底边BC的一半。 3.求平行于向量a=4i-3k的单位向量. 解所求单位向量为士写，03头，即传0-和0. 3 4.求点M(-3,4,5)到各坐标轴的距离. 解过M点做与x轴垂直相交的直线，其交点坐标为(-3,0，O),所以，点M到x轴 的距离为V4+52=√4.类似求得，点M到y轴的距离为√-3}+52-√34，到Z轴 的距离为V-3)2+42=5. 5.在yOz面上，求与三点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点. 解设点P(0,y,)与A、BC三点等距离，则P4=|PB=|PC2, 即 32+(1-y)2+(2-z)2=42+(-2-y)2+(-2-z)2 (5-y)》2+1-z)》2=42+(-2-y)2+(-2-z)}2 解方程组得，y=1,z=-2,故所求点为(0,1-2). 6.求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三 角形. 解因为M,M={3,-2,,MM={1,-1,2},M2M={-2,1,1},则 MM =M,M =6 故三角形M,M,M3是一个等腰三角形
1 习 题 6－1 1．设 u a b c 2 ， v a b c 3 ．试用 a 、b 、c 表示 2 3 u v ． 解 2 3 u v = 5 a －11 b ＋7 c ． 2．试用向量证明：三角形两边中点的连线平行且等于底边的一半． 解 设三角形 ABC 中， E 是 BC 的中点， F 是 AC 的中点（图 6－1），则 1 1 , , 2 2 AE AB AF AC 又 EF AF AE BC AC AB , , 所以 1 1 ( ) 2 2 EF AC AB BC ， 图 6－1 即 EF 平行且等于底边 BC 的一半。 3．求平行于向量 a i k 4 3 的单位向量． 解 所求单位向量为 1 4, 0, 3 5 ，即 4 3 { ,0, } 5 5 和 4 3 { ,0, } 5 5 ． 4．求点 M (-3, 4 ,5)到各坐标轴的距离． 解 过 M 点做与 x 轴垂直相交的直线，其交点坐标为 (-3,0,0)，所以，点 M 到 x 轴 的距离为 2 2 4 5 41 ．类似求得，点 M 到 y 轴的距离为 2 2 ( 3) 5 34 ，到 Z 轴 的距离为 2 2 ( 3) 4 5 ． 5．在 yOz 面上，求与三点 A (3,1,2)、 B (4,-2,-2)和 C (0,5,1)等距离的点． 解 设点 P y z (0, , ) 与 A B C 、 、 三点等距离，则 2 2 2 PA PB PC , 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 (1 ) (2 ) 4 ( 2 ) ( 2 ) (5 ) (1 ) 4 ( 2 ) ( 2 ) y z y z y z y z ， 解方程组得， y z 1, 2 ，故所求点为 (0,1, 2) ． 6．求证以 M1 (4,3,1)、 M2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三 角形． 解 因为 M M M M M M 1 2 1 3 2 3 3, 2,1 , 1, 1,2 , 2,1,1 ，则 M M1 3 2 3 M M 6 故三角形 M M M 1 2 3 是一个等腰三角形． A B F C E F
7.已知两点M,(4,√5,1)和M2(3,0,2).计算向量MM,的模、方向余弦和方向角. 解因为M,M={-l,-V2,1},所以模MM=2:方向余弦分别为cosa=- ,c057=2方向角分别为2红，3江，” CosB=-2 3’4’3 8.已知向量a=4i-4j+7k的终点在点B(2,-1,7),求这向量起点A的坐标. 解设A点坐标为(x,,)，则AB={2-x,-1-y,7-卡4，-4}，解得 x=-2,y=3,z=0,故A(-2,3,0). 9.设m=3+5j+8欧n=2-年-R和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在 y轴上的分向量. 解由于a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 故1在y轴上的分向量为7j. 10.设0=(1,4,5)，b=(1,1,2),求1使a+入b垂直于a-b 解由于两个向量垂直，所以 (a+2b)(a-b)=la2-22b=42-62=0, 解得九=±7. 11.设质量为200kg的物体从点M1(2,5,6)沿直线移动到点M2(1,2,3),计算重力 所作的功（长度单位为m,重力方向为z轴负方向）. 解由于位移s=MM2={-1,-3,-3},重力F-{0,0,-200g}(g=98m/s2), 所以，重力所作的功W=F·s={0,0,-200g}{-1,-3,-3}=600g=5880J. 习题6一2 1.设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求 (1)a·b及a×b:(2)1与b的夹角的余弦. 2
2 7．已知两点 M1 (4, 2 ,1)和 M2 (3,0,2)．计算向量 M M1 2 的模、方向余弦和方向角． 解 因为 M M1 2 1, 2,1 ，所以模 1 2 M M 2 ；方向余弦分别为 1 cos , 2 2 cos , 2 1 cos 2 ；方向角分别为 2 3 ， 3 4 ， 3 ． 8．已知向量 a i j k 4 4 7 的终点在点 B (2,-1,7)，求这向量起点 A 的坐标． 解 设 A 点 坐 标 为 ( , , ) x y z ， 则 AB 2 , 1 ,7 4, 4,,7 x y z ， 解 得 x y z 2, 3, 0 ，故 A (－2，3，0)． 9．设 m i j k,n i j k 3 5 8 2 4 7 和 p i j k 5 4 ．求向量 a m n p 4 3 在 y 轴上的分向量． 解 由于 a i j k i j k i j k 4(3 5 8 ) 3(2 4 7 ) (5 4 ) 13 7 15 i j + k 故 a 在 y 轴上的分向量为 7 j ． 10．设 a ＝(1，4，5)，b ＝(1，1，2)，求 使 a b 垂直于 a b ． 解 由于两个向量垂直，所以 2 2 2 2 ( ) ( ) 42 6 0 a b a b a b ， 解得 7 ． 11．设质量为 200kg 的物体从点 M1 (2，5，6)沿直线移动到点 M2 (1，2，3)，计算重力 所作的功（长度单位为 m，重力方向为 z 轴负方向）． 解 由于位移 s = M M1 2 1, 3, 3 ，重力 F 0,0, 200g （ 2 g m s 98 / ）， 所以, 重力所作的功 W g g J F s = 0,0, 200 1, 3, 3 600 5880 ． 习题 6－2 1．设 a i j k b i j k 3 2 , 2 ，求 (1) a b 及 a b ； (2) a 与 b 的夹角的余弦．
i j k 解(1)a·b=3; a×b=3 -1-2=5i+i+7k: 12-1 a.b 3 (2)cos(a,b)= la2V21 2.设a与b互相垂直，且@=3，b=4.求 (1)(a+b)×(a-b:(2)l(3a+b)×(a-2b) 解(1)(a+b)×(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×bl =l-2ax-2lalsin-2x3x4-24. (2)(3a+b)×(a-2b)=3a×a-6a×b+b×a-2b×b --7ax-7lbsin-7x3x4-84. 3.已知M1(1,-1,2)、M2(3,3,1)和M3(3,1,3).求与MM2、M2M3同时垂 直的单位向量 解由于MM×M2M={2,4,-1}×{0,-2,2}=2{3,-2,-2},故与MM2、M2M 同时垂直的单位向量为士 i万(3i-2j-2k. 4.已知三角形的三个顶点坐标分别为A(0,1,-1),B(2,-1,-4),C(4,1,5),求 △ABC的面积， 解三角形面积Sx=B×4d=)2,-2-3到×40,6=4(-3,62引=14. 5.已知向量a=2i-3j+k,b=i-j+3k和c=i-2j,计算： (1)(a·b)c-(a·c)b:(2)(a+b)×(b+c):(3)(a×b)c. 解(1)(a·b)c-(a·c)b=-8j-24k: (2)(a+b)×(b+c)=-j-k;
3 解 (1) 3; 3 1 2 5 7 1 2 1 ijk a b a b i j k ； (2) cos( , ) a b ＝ 3 2 21 a b a b ． 2．设 a 与 b 互相垂直，且 a b 3, 4 ．求 （1） ( ) ( ) a b a b ；（2） (3 ) ( 2 ) a b a b ． 解 （1） ( ) ( ) a b a b a a a b + b a b b 2a b 2 sin 2 3 4 24 2 a b ． （2） (3 ) ( 2 ) a b a b 3a a 6a b + b a 2b b 7a b 7 sin 7 3 4 84 2 a b ． 3．已知 M1 (1，-1，2)、 M2 (3，3，1)和 M3 (3，1，3)．求与 M M1 2 、 M M2 3 同时垂 直的单位向量． 解 由于 M M M M 1 2 2 3 2,4, 1 0, 2,2 2 3, 2, 2 ，故与 M M1 2 、M M2 3 同时垂直的单位向量为 1 17 ( 3 i -2 j -2 k ）． 4．已知三角形的三个顶点坐标分别为 A(0，1，-1)，B(2，-1，-4)，C (4，1，5)，求 ABC 的面积． 解 三角形面积 1 1 1 2, 2, 3 4,0,6 4 3,6,2 14 2 2 2 ABC S AB AC ． 5．已知向量 a i j k b i j k c i j 2 3 , 3 2 和 ，计算： (1) ( ) ( ) a b c a c b ； (2) ( ) ( ) a b b c ；(3) ( ) a b c ． 解 (1) ( ) ( ) a b c a c b = k 8 j 24 ； (2) ( ) ( ) a b b c j k ；
(3)(a×b)c=2· 6.问：向量a=-2i+3i+k,b=-j+k,c=i-j-k是否共面？ -231 解 因为混合积(a×b)·c=0-11=0,所以三个向量共面 1-1-1 习题6一3 1.指出下列各平面的特殊位置，并画图： (1)3x-1=0: (2)2x-3y-6=0: (3)x-√3y=0: (4)6x+5y-z=0. 答(1)平行于yOz面的平面： (2)平行于z轴的平面： (3)通过z轴的平面： (4)通过原点的平面： 2.求通过点(3,2，一1)，且与平面2x-y+z-3=0平行的平面方程. 解所求平面方程为2(x-3)-(y-2)+(z+1)=0,即2x-y+z-3=0. 3.求通过三点(1,1，-1)、(-2，-2,2)和(1，-1,2)的平面方程. 解设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0.则将三点坐标分别代入方程，即有 A+B-C+D=0, -2A-2B+2C+D=0, A-B+2C+D=0, 1 3 解方程组得：A=-二C,B=三C,D=0,代入所设平面方程并消去C,求得所求平面方程 2 2 为x-3y-2z=0. 4.分别按下列条件求出平面方程： (1)平行于xOz面且经过点(2，-5,3)： (2)通过z轴和点(-3,1，一2)： (3)经过两点(4,0，-2)和(5,1,7)且平行于x轴. 解(1)因为所求平面平行于xOz坐标面，所以方程可设为By+D=0.又因平面通
4 (3) ( ) 2 a b c = ． 6．问: 向量 a i j k b j k c i j k 2 3 , , 是否共面？ 解 因为混合积 2 3 1 ( ) 0 1 1 0 1 1 1 a b c ，所以三个向量共面． 习题 6－3 1．指出下列各平面的特殊位置，并画图： (1) 3 1 0 x ； (2) 2 3 6 0 x y ； (3) x y 3 0 ； (4) 6 5 0 x y z ． 答 (1) 平行于 yOz 面的平面； (2) 平行于 z 轴的平面； (3) 通过 z 轴的平面； (4) 通过原点的平面； 2．求通过点(3，2，－1)，且与平面 2 3 0 x y z 平行的平面方程． 解 所求平面方程为 2( 3) ( 2) ( 1) 0 x y z ，即 2 3 0 x y z ． 3．求通过三点(1，1，－1)、(－2，－2，2)和(1，－1，2)的平面方程． 解 设所求平面方程为 Ax By Cz D 0 ．则将三点坐标分别代入方程，即有 0, 2 2 2 0, 2 0, A B C D A B C D A B C D 解方程组得： 1 3 , , 0 2 2 A C B C D ，代入所设平面方程并消去 C ，求得所求平面方程 为 x y z 3 2 0 ． 4．分别按下列条件求出平面方程： (1 ) 平行于 xOz 面且经过点(2，－5，3)； (2 ) 通过 z 轴和点(－3，1，－2)； (3 ) 经过两点(4，0，－2 )和( 5，1，7 ) 且平行于 x 轴． 解 (1) 因为所求平面平行于 xOz 坐标面，所以方程可设为 By D 0 ．又因平面通
过点(2，-5,3)，故-5B+D=0,D=5B,代入上式，并消去B,得所求平面方程为 y+5=0. (2)因为平面通过z轴，所以可设平面的方程为Ax+By=0.又因平面通过点 (一3,1，-2)，所以-3A+B=0,B=3A,代入上式，并消去A,得所求平面方程为 x+3y=0.: (3)因为平面平行于x轴，所以可设平面方程为By+Cz+D=0.代入已知点得 方程组{ :2C+D=0,解得B=-9D,C=D,代入上式，并消去D,符所求平面 B+7C+D=0 方程为9y-z-2=0. 5.求过两点(1，-5,1)和(3,2，-2)且垂直于xOy面的平面方程. 解因为所求平面垂直于xOy坐标面，即平行于z轴，所以可设平面方程为 Ax+By+D=0.又因平面通过两点(1，-5,1)和(3,2，-2)，所以 [A-5B+D=0, 3A+2B+D=0 解方程组得A=-子D,B=名D,代入方程+B+D=0,并消去D,求得平面方程 171 17 7x-2y-17=0. 6.求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点. x+3y+z=1 解求解方程组 2x-y-z=0,得交点为(1，-1,3). -x+2y+2z=3 7.求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离. 解 利用点到平面距离公式，可得 d=1x1+2x2+2x1-10=1. V12+22+22 8.求平行于平面x+y+2=100且与球面x2+y2+z2=4相切的平面方程
5 过点(2,－5, 3)，故 5 0, 5 B D D B ，代入上式，并消去 B ，得所求平面方程为 y 5 0 ． (2) 因为平面通过 z 轴，所以可设平面的方程为 Ax By 0 ．又因平面通过点 (－3,1,－2)，所以 3 0, 3 A B B A ，代入上式，并消去 A ，得所求平面方程为 x y 3 0 ．； (3) 因为平面平行于 x 轴，所以可设平面方程为 By Cz D 0 ．代入已知点得 方程组 2 0, 7 0 C D B C D ，解得 9 1 , 2 2 B D C D ，代入上式，并消去 D ，得所求平面 方程为 9 2 0 y z ． 5．求过两点 (1, －5, 1 )和 ( 3, 2, －2 )且垂直于 xOy 面的平面方程． 解 因为所求平面垂直于 xOy 坐标面，即平行于 z 轴，所以可设平面方程为 Ax By D 0 ．又因平面通过两点 (1,－5, 1)和 (3, 2,－2)，所以 5 0, 3 2 0 A B D A B D 解方程组得 7 2 , 17 17 A D B D ，代入方程 Ax By D 0 ，并消去 D ，求得平面方程 7 2 17 0 x y ． 6．求三平面 x y z 3 1， 2 0 x y z ， x y z 2 2 3 的交点． 解 求解方程组 3 1 2 0 2 2 3 x y z x y z x y z ，得交点为(1，－1，3)． 7．求点(1，2，1)到平面 x y z 2 2 10 0 的距离． 解 利用点到平面距离公式，可得 222 |1 1 2 2 2 1 10 | 1 1 2 2 d + ． 8．求平行于平面 x y z 100 且与球面 2 2 2 x y z 4 相切的平面方程．