代入原方程，得u+xd=u+-i,即】d=上， dx √2-1x 积分得ln(u+V-l)=lnx+lnC,即u+V-l=Cx, 亦即 兰图1-G,原方我的通解y+广-子-G心. (2)原方程可写为少=n上，令u=,则y=,业=u+x dx xx dx dx xd=ulnu,分离变量积分得 1 代入原方程，得u+ dx u(Inu-1) 即ln(lm)d(,亦即n上=Cr+l,原方程的通解1n上=Cx+1. (3)原方程可写为业-上+产，令u=士，则y=, du dx x y X dy=u+x x 代入原方程，得+x du =u+二，分离变量积分得 dx Juh- 即d=2nl+C,将u=上代入上式得原方程的通解y=x(2n+C. (4)原方程可写为少=上+ 的茶+苏，令=士，则y=m, y≥u+X du X x dx 代入原方程，得“+：出-智+证，分离变最积分得 即-2=hx4G,亦即21号脚C=,将=代入上式 X 得原方程的通解x-2y3=Cx. (5)令u=,则y=,中=y=u+x业，代入原方程，得u+x dx dx =etu, dx 即-e“=lnCx,将u=上代入上式，得原方程的通解e左+lnCx=0. X-12e' (6)原方程可写为 y dx ,令u=X,则x=uy =uty du y dy d 1+2e' 代入原方程，得u+y d_2e(u-),分离变量积分得 +2c=-， r1+2e" dy 1+2e" 6
6 代入原方程，得 d 2 1 d u u x u u x ，即 2 1 1 1 du dx u x ， 积分得 2 ln( 1) ln ln u u x C ，即 2 u u Cx 1 ， 亦即 2 1 y y Cx x x ，原方程的通解 2 2 2 y y x Cx ． （2）原方程可写为 d ln d y y y x x x ，令 y u x ，则 y ux , d d , d d y u u x x x 代入原方程，得 d ln d u u x u u x ，分离变量积分得 1 1 ln 1 du dx u u x ， 即 ln(ln 1) ln ln u x C ，亦即 ln 1 y Cx x ，原方程的通解 ln 1 y Cx x ． （3）原方程可写为 d d y y x x x y ，令 y u x ，则 y ux , d d , d d y u u x x x 代入原方程，得 d 1 d u u x u x u ，分离变量积分得 1 udu dx x ， 即 2 u x C 2ln ，，将 y u x 代入上式得原方程的通解 2 2 y x x C (2ln )． （4）原方程可写为 2 2 d d 3 3 y y x x x y ，令 y u x ，则 y ux , d d , d d y u u x x x 代入原方程，得 2 d 1 d 3 3 u u u x x u ，分离变量积分得 2 3 3 1 1 2 u du dx u x ， 即 3 1 1 ln(1 2 ) ln 2 u x C ，亦即 3 2 2 1 C u x ，其中 C eC1 ，将 y u x 代入上式， 得原方程的通解 3 3 x y Cx 2 ． （5）令 y u x ，则 y ux , d d , d d y u y u x x x 代入原方程，得 d d u u u x e u x ， 即 ln u e Cx ，将 y u x 代入上式，得原方程的通解 ln 0 y x e Cx ． （6）原方程可写为 1 2 d d 1 2 x y x y x e x y y e ，令 x u y ，则 x u y , d d , d d x u u y y y 代入原方程，得 d 2 ( 1) dy 1 2 u u u e u u y e ，分离变量积分得 1 2 1 2 u u e du dy u e y
即nu+2e)=-ny+lnC,亦即u+2e)=C,将u=上代入上式，得原方程 的通解x+2e'=C 4.求下列线性微分方程的通解： 1)业+y=e; (2)'+y=x2+3x+2: dx (3)y+ytanx=sin2x, 0胎*30 (5)ylnydx+(x-Iny)dy=0, (6)0y2-6x y+2y=0, d 解：(1)原方程是P(x)=1,Q(x)=e的一阶非齐次线性方程.由通解公式 得原方程的通解为y=eee卢+C=eee达+c=e(+C), (2)原方程可化为y+=x+3+2,它是P)=},Q)=x+3+2的一阶非 齐次线性方程·由通解公式得原方程的通解为 =e[〔++到k+c-6e+3+2+c]-写++2+ (3)原方程是P(x)=tanx,Q(x)=sin2x的一阶非齐次线性方程.由通解公式得 原方程的通解为 =m2xe+小ow =Ccosx-2cos2x. (4)原方程是P(=3,Q0)=2的一阶非齐次线性方程.由通解公式得 p-e2eao写}-e2+)-子Se 即原方程的通解为3p=2+Ce38 (5)原方程可化为而y它是PU)=0)=的一阶非齐次线 dy yIny y 1 性方程.由通解公式得 x=e 扁e向引n海引引 即原方程的通解为2xlny=lny+C
7 即 ln( 2 ) ln ln u u e y C ，亦即 ( 2 ) u y u e C ，将 y u x 代入上式，得原方程 的通解 2 x y x ye C 4．求下列线性微分方程的通解： （1） d ; d y x y e x （2） 2 xy y x x 3 2; （3） y y x x tan sin2 ; （4） d 3 2; d （5） y y x x y y ln d ( ln )d 0; （6） 2 d ( 6 ) 2 0. d y y x y x 解：（1）原方程是 P x( ) 1 ， ( ) x Q x e 的一阶非齐次线性方程.由通解公式 得原方程的通解为 dx dx x x x x x y e e e dx C e e e dx C e x C ． （2）原方程可化为 1 2 y y x 3 x x ，它是 1 P x( ) x ， 2 Q x x ( ) 3 x 的一阶非 齐 次 线 性 方 程 . 由 通 解 公 式 得 原 方 程 的 通 解 为 1 1 2 1 2 3 3 2 dx dx x x y e x e dx C x x dx C x x 1 3 2 2 3 2 C x x x ； （3）原方程是 P x x ( ) tan ，Q x x ( ) sin2 的一阶非齐次线性方程.由通解公式得 原方程的通解为 tan tan sin 2 2 sin 2 cos cos 2cos cos xdx xdx x y e x e dx C x dx C C x x x ． （4）原方程是 P( ) 3 ， Q( ) 2 的一阶非齐次线性方程.由通解公式得 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 d d C C C e e d e e dx e ， 即原方程的通解为 3 3 2 Ce ． （5）原方程可化为 1 = ln dx x dy y y y ，它是 1 ( ) ln P y y y ， 1 Q y( ) y 的一阶非齐次线 性方程.由通解公式得 1 1 ln ln 1 1 1 1 1 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 2 dy dy y y y y C C C x e e dy ydy y y y y y ， 即原方程的通解为 2 2 ln ln x y y C ．
《6)原方程可化为务-子是=一子Q0)=名的价事齐次线 性方程.由通解公式得 =e[引+c=(3+小+ 5.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： ()邮-ytmx=sex儿w=0(2)+士=4，川a=2: dx dx x +ycotx=5e,y川n=4,(4)+3y=8y儿o=2 (3) dx dx 解：(1)由公式可得一阶线性微分方程通解为 y=ee[scxek+c]ocxcos+Cr+q 由ylo=0得C=0,故特解为y= coSx (2)由公式可得一阶线性微分方程通解为 y-4片+c+c 由y儿=2得C=1,故特解为y=x+ (3)由公式可得一阶线性微分方程通解为 edscf5e+C] siinin-ec] 由4得C=1,故特解为y=s-5e+门即snx+5e=l (4)由公式可得一阶线性微分方程通解为 y-ofSdcdc]c 由儿w=2得C=-子故特解为y号4-e)。 6.求下列伯努利方程的通解：
8 （6）原方程可化为 3 = 2 dx x y dy y ，它是 3 P y( ) y ， ( ) 2 y Q y 的一阶非齐次线 性方程.由通解公式得 3 3 3 2 3 3 1 1 2 2 2 dy dy y y y y x e e dy C y dy C y Cy y ． 5．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1） 0 d tan sec , | 0; d x y y x x y x （2） 2 1 d 4 , | 2 ; d x y y x y x x （3） cos 2 d cot 5 , | 4; d x x y y x e y x （4） 0 d 3 8, | 2 d x y y y x . 解：（1）由公式可得一阶线性微分方程通解为 tan tan 1 1 sec sec cos cos cos xdx xdx y e x e dx C x xdx C x C x x 由 0 | 0 x y 得 C 0 ，故特解为 cos x y x . （2）由公式可得一阶线性微分方程通解为 2 2 4 3 1 1 4 4 dx dx x x C y e x e dx C x xdx C x C x x x x 由 y x1 2 得 C 1 ，故特解为 3 1 y x x . （3） 由公式可得一阶线性微分方程通解为 cot cot cos lnsin cos lnsin cos cos 5 5 1 1 5 sin 5 sin sin xdx xdx x x x x x x y e e e dx C e e e dx C e xdx C e C x x 由 2 4 x y 得 C 1 ，故特解为 1 cos 5 1 sin x y e x ，即 cos sin 5 1 x y x e . （4）由公式可得一阶线性微分方程通解为 3 3 3 3 3 8 8 8 3 dx dx x x x y e e dx C e e dx C Ce 由 0 | 2 x y 得 2 3 C ，故特解为 2 3 (4 ) 3 x y e . 6．求下列伯努利方程的通解：
1)业+y=y(cosx-sinx (2)少+2y=2xy d dx 解：方程两边同除以y,得y2少+y=cosx-sinx dx 令：=子少广忠-去则原方程变为东-：=5nx-s,故 dx dx dx :=e[smx-cos-es+C=e[fsinx-∫osxe产h+c =e(-e*sinx-+∫cosx·edk-∫cosx.e-dx-+C=Ce'-sinx 将：=L代入上式，得原方程通解为上=Ce-sinx.上=-sinx+Ce: (2)方程两边同除以少，得y少+22=2x dx 令：方少出=疾则原方程变为央扣4，故 dx 2 dx d -4 +C4+c] =e[++c-c++ 将：=代入上式，得原方程通解为户=Ce++ 7.用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： 1)业=x+ (2) 业=1+ dx dx x-y (3)y+y=ynx+lny方 (4)y=e2x+-l-2. 解：(1)令u=x+y,则少=血-1，从而原方程可化为血=1+，分离 dxdx d 变量积分得本=高，即=nC.将=+y代入，得原方程的通解 为x=arctan((x+y)+C,即y=-x+tanx+C): (2)令u=x-y,则少=1-，从而原方程可化为-=上，分离变量积分得 dx u ∫=-一小k,即x+i=(将u=x-y代入，得原方程的通解为 (x-y)2=-2x+C(其中C=2C). 9
9 （1） d 2 (cos sin ); d y y y x x x （2） d 3 3 2 2 . d y xy x y x 解：方程两边同除以 2 y ，得 2 1 d cos sin d y y y x x x 令 1 z y ， 2 d d y dz y x dx ，则原方程变为 sin cos dz z x x dx ，故 (sin cos ) sin cos sin cos cos sin dx dx x x x x x x x x z e x x e dx C e x e dx x e dx C e e x x e dx x e dx C Ce x 将 1 z y 代入上式，得原方程通解为 1 sin x Ce x y . 1 sin x x Ce y ； （2）方程两边同除以 3 y ，得 3 2 3 d 2 2 d y y xy x x 令 2 1 z y ， 3 d 1 d 2 y dz y x dx ，则原方程变为 3 4 4 dz xz x dx ，故 2 2 2 2 2 4 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 ( 4 ) ( 4 ) 1 1 ( ) 2 2 xdx xdx x x x x x z e x e dx C e x e dx C e x e C Ce x 将 2 1 z y 代入上式，得原方程通解为 2 2 2 2 1 2 x y Ce x ． 7．用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： （1） d 2 ( ) ; d y x y x （2） d 1 1; d y x x y （3） xy y y x y (ln ln ); （4） 2 1 2 x y y e ． 解：（1）令 u x y ，则 1 dy du dx dx ，从而原方程可化为 2 1 du u dx ，分离 变量积分得 2 1 du dx u ，即 x u C arctan . 将 u x y 代入，得原方程的通解 为 x x y C arctan( ) ，即 y x x C tan( )． （2）令 u x y ，则 1 dy du dx dx ，从而原方程可化为 du 1 dx u ，分离变量积分得 udu dx ， 即 2 1 1 2 x u C . 将 u x y 代 入 ， 得 原 方 程 的 通 解 为 2 ( ) 2 x y x C （其中 C C 2 1 ）．
r （3)令u=y，则y=“,少= -u 一，从而原方程可化为 x’d ☆兰兰-兰n,分离变最积分相停-∫出。即hx+hC=0h叭， x dx x xX 亦即u=e，将u=y代入，得原方程的通解为y=上e。 (4)令u=2x+y-1,则安=y-政-2，从而原方程可化为 =e”,分离变 d dx 量积分得∫c=∫e"u,即e"=C-x.将u=2x+y-1代入，得原方程的通解为 y=1-2x-In/C-x. 8.判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： (1)(xcosy+cosx)dy+(siny-ysinx)dx=0;(2)(x2-y)dx-xdy=0: (3)(x2+y2)dk+xy=0: (4)(1+e29)dp+2pe2d0=0. 解：(1)这里Px,y)=siny-ysinx,Qx,y)=xcos y+cosx, =cosy-sinx= 卫，所以(1)是全微分方程.取x=0,%=0, 根据公式x,川=Px本+∫O,有 x)=(siny-ysinx)本+少=xsiny+ycOSx 于是全微分方程的通解为xsin y-+ycoSx=C. (2)这里P心x,)=r-yQx,)=-x,于是有P=-1=0,所以(2)是全微 分方程.取=0，人=0，根据公式x,川=P(x达+∫G,,有 n=-k+0=号可 于是全微分方程的道解为=号+C。 (3)这里P(x,y)=x2+y2,Q(x,y)=y, oP=2y. 2=y,显然 aP 80 丰 ay O 所以(3)不是全微分方程. 10
10 （ 3 ） 令 u xy ， 则 2 , du x u u dy dx y x dx x ， 从 而 原 方 程 可 化 为 2 1 ( ) ln du u u u x u x dx x x x ，分离变量积分得 ln dx du x u u ，即 ln ln ln(ln ) x C u ， 亦即 Cx u e ，将 u xy 代入，得原方程的通解为 1 Cx y e x ． （4）令 u x y 2 1 ，则 2 dy du y dx dx ，从而原方程可化为 du u e dx ，分离变 量积分得 u dx e du ，即 u e C x . 将 u x y 2 1 代入，得原方程的通解为 y x C x 1 2 ln ． 8．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： （1） ( cos cos )d (sin sin )d 0 x y x y y y x x ； （2） 2 ( ) 0 x y dx xdy ； （3） 2 2 ( ) 0 x y dx xydy ； （4） 2 2 (1 ) 2 0 e d e d ． 解：（1）这里 P x y y y x Q x y x y x ( , ) sin sin , ( , ) cos cos ， cos sin P Q y x y x ，所以（1）是全微分方程．取 x y 0 0 0 , 0， 根据公式 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y u x y P x y dx Q x y dy ，有 0 0 ( , ) (sin sin ) sin cos x y u x y y y x dx dy x y y x 于是全微分方程的通解为 x y y x C sin cos ．. （2）这里 2 P x y x y Q x y x ( , ) , ( , ) ,于是有 1 P Q y x ，所以（2）是全微 分方程．取 x y 0 0 0 , 0 ，根据公式 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y u x y P x y dx Q x y dy ，有 3 2 0 0 ( , ) ( ) 0 3 x y x u x y x y dx dy xy 于是全微分方程的通解为 3 3 x xy C ． （3）这里 2 2 P x y x y Q x y xy ( , ) , ( , ) , 2 P y y ， Q y x ，显然 P Q y x ， 所以（3）不是全微分方程．