银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第三章 中值定理与导数的应用

银川能源学院《高等数学》救 第三章徽分中值定理与导数的应用 章节名称： 第三章 中值定理与导数的应用 教学内容与学时分配： 1. 微分中值定理(2学时) 2. 洛必达法则(2学时) 3. 函数的单调性和曲线的凹凸性(2学时) 4.函数的极值与最大值、最小值问题(2学时) 5. 函数图形的描绘(1学时)6.弧微分与曲率(1学时) 教学目的和要求： 1、.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最 大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理： 2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性： 4、洛必达法则。 难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用： 2、极值的判断方法： 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘： 4、洛必达法则的灵活运用。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入课题： 2、概念与性质定理的讲解与证明： 3、例题讲解： 4、小结。 教学手段： 作业： 第1页

银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 1 页 章节名称： 第三章 中值定理与导数的应用 教学内容与学时分配： 1． 微分中值定理（2 学时） 2． 洛必达法则 （2 学时） 3． 函数的单调性和曲线的凹凸性（2 学时） 4． 函数的极值与最大值、最小值问题（2 学时） 5． 函数图形的描绘（1 学时） 6． 弧微分与曲率（1 学时） 教学目的和要求： 1、 . 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最 大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入课题； 2、概念与性质定理的讲解与证明； 3、例题讲解； 4、小结。 教学手段： 作业：

银川能源学院《高等数学》救案 第三章徽分中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数x)在点0的某邻域U(xo)内有定义，并且在0处可导，如果对任 意xeUx,有 x)xo)(或x)2xo), 那么f'(xo)=0. 罗尔定理如果函数y=x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可 导，且有ab),那么在(a,b)内至少在一点5，使得f"(=0. 简要证明：(1)如果x)是常函数，则f'(x)=O,定理的结论显然成立 (2)如果x)不是常函数，则x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值 点，不妨设有一最大值点∈(a,b).于是 f③=f=mff组20， x Γx-5 r0=g0=mff组<0， 5X-5 所以f"(x)=0. 罗尔定理的几何意义： 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，那么在(a,b)内至少有一点(a<b),使得等式 b)-a=f'(5(b-a) 成立 拉格朗日中值定理的几何意义： J()(b)-I(a) b-a 定理的证明：引进辅函数 令x=fx-fa-⑥-f@r-a. b-a 容易验证函数x)适合罗尔定理的条件：o(a=b)=0,o(x)在闭区间[a,b]上 连续在开区间(a,b)内可导，且 p'x片f'xb)-f@ b-a 根据罗尔定理，可知在开区间(a,b)内至少有一点5，使0'(=0，即 f'(5分-fb-f@-0 b-a 由此得 fb-f@=f"(9, b-a 即 b)-fa)=f'((b-a). 定理证毕 b)-a)=f'(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<a也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式： 第2页

银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 2 页 第一节 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义 并且在 x0 处可导 如果对任 意 xU(x0) 有 f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0)) 那么 f (x0)0 罗尔定理 如果函数 yf(x)在闭区间[a, b]上连续 在开区间(a, b)内可 导 且有 f(a)f(b) 那么在(a, b)内至少在一点  使得 f ()0 简要证明 (1)如果 f(x)是常函数 则 f (x)0 定理的结论显然成立 (2)如果 f(x)不是常函数 则 f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值 点 不妨设有一最大值点(a b) 于是 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  所以 f (x)=0. 罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 那么在(a b)内至少有一点(a<<b) 使得等式 f(b)f(a)f ()(ba) 成立 拉格朗日中值定理的几何意义 f () b a f b f a  ( ) ( )  定理的证明 引进辅函数 令 (x)f(x)f(a) b a f b f a  ( ) ( ) (xa) 容易验证函数 f(x)适合罗尔定理的条件 (a)(b)0 (x)在闭区间[a b] 上 连续在开区间(a b)内可导 且 (x)f (x) b a f b f a  ( ) ( )  根据罗尔定理 可知在开区间(a b)内至少有一点 使 ()0 即 f () b a f b f a  ( ) ( ) 0 由此得 b a f b f a  ( ) ( )  f ()  即 f(b)f(a)f ()(ba) 定理证毕 f(b)f(a)f ()(ba)叫做拉格朗日中值公式 这个公式对于 b<a 也成立 拉格朗日中值公式的其它形式

银川能源学院《高等数学》救案 第三章徽分中值定理与导数的应用 设x为区间[a,b]内一点，x+△x为这区间内的另一点（△x>0或△<O),则 在[x,x+△x](△>O)或[x+△x,x](△r<O)应用拉格朗日中值公式，得 x+△x)-x)=f"(x+x)·△x(0<1). 如果记x)为y,则上式又可写为 △=f"(x+△x)·△x(0<1). 试与微分d=f'(x)·△r比较：dy=∫'(x)·△r是函数增量△y的近似表达 式，而 f'(x+Ax)·△x是函数增量△y的精确表达式. 作为拉格朗日中值定理的应用，我们证明如下定理： 定理如果函数x)在区间I上的导数恒为零，那么x)在区间I上是一 个常数. 证在区间I上任取两点x,x2(x1<x2,应用拉格朗日中值定理，就得 x2)x1)=f'(x2-x1)(x1<5x2). 由假定，f'(⑤)=0，所以x2)x1)=0,即 x2=x). 因为x1,x2是I上任意两点，所以上面的等式表明：x)在I上的函数值总是相 等的，这就是说，x)在区间1上是一个常数 例2.证明当D0时，本x<h+水x. 证设fx)=l(1+x),显然x)在区间[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条 件，根据定理，就有 x)-0)=f'()x-0),0x。 由于0=0，心=中x,因此上式即为 += 又由0<5x,有 本x<h+kx. 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 ∫X=Fx) lY=f(x) (a≤x≤b) 表示，其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线， 那么在曲线C上必有一点=：，使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的 弦AB,曲线C上点=ξ处的切线的斜率为 dy f() dxF'⑤ 弦AB的斜率为 f(b)-f(a) F(b)-F(a) 于是 f(b)-f(a)f) F(b)-F(a)F( 第3页

银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 3 页 设 x 为区间[a b]内一点 xx 为这区间内的另一点(x>0 或x<0) 则 在[x xx ] (x>0)或[xx x ] (x<0)应用拉格朗日中值公式 得 f(xx)f(x)f (xx)  x (0<<1) 如果记 f(x)为 y 则上式又可写为 yf (xx)  x (0<<1) 试与微分 d yf (x)  x 比较 d y f (x)  x 是函数增量y 的近似表达 式 而 f (xx)  x 是函数增量y 的精确表达式 作为拉格朗日中值定理的应用 我们证明如下定理 定理 如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒为零 那么 f(x)在区间 I 上是一 个常数 证 在区间 I 上任取两点 x1 x2(x1<x2) 应用拉格朗日中值定理 就得 f(x2)f(x1)f ()(x2  x1) (x1<< x2) 由假定 f ()0 所以 f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1) 因为 x1 x2 是 I 上任意两点 所以上面的等式表明 f(x)在 I 上的函数值总是相 等的 这就是说 f(x)在区间 I 上是一个常数 例 2 证明当 x0 时 x x x x     ln(1 ) 1  证 设 f(x)ln(1x) 显然 f(x)在区间[0 x]上满足拉格朗日中值定理的条 件 根据定理 就有 f(x)f(0)f ()(x0) 0<<x。 由于 f(0)0 x f x    1 1 ( )  因此上式即为    1 ln(1 ) x x  又由 0x 有 x x x x     ln(1 ) 1  三、柯西中值定理 设曲线弧 C 由参数方程      ( ) ( ) Y f x X F x (axb) 表示 其中 x 为参数 如果曲线 C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必有一点 x 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的 弦 AB 曲线 C 上点 x处的切线的斜率为 ( ) ( )   F f dX dY     弦 AB 的斜率为 ( ) ( ) ( ) ( ) F b F a f b f a    于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   F f F b F a f b f a      

银川能源学院《高等数学》教亲 第三章徽分中值定理与导数的应用 柯西中值定理如果函数x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且F'(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一 点5，使等式 fb)-fa_f'"(且 F(b)-F(a)F( 成立 显然，如果取Fx)=x,那么F(b)-F(a)=b-a,F'(x)=1,因而柯西中值公式 就可以写成： b)-a)=f'(b-a）(a<b), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. 第4页

银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 4 页 柯西中值定理 如果函数 f(x)及 F(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内可导 且 F (x)在(a b)内的每一点处均不为零 那么在(a b)内至少有一 点 使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   F f F b F a f b f a       成立 显然 如果取 F(x)x 那么 F(b)F(a)ba F (x)1 因而柯西中值公式 就可以写成 f(b)f(a)f ()(ba) (a<<b) 这样就变成了拉格朗日中值公式了

银川能源学院《高等数学》救案 第三章徽分中值定理与导数的应用 第二节泰勒公式 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来 近似表达.由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘 三种运算，便能求出它的函数值，因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式： e'≈l+x,ln(1+x)≈x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在 着不足之处：首先是精确度不高，这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小： 其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此，对于精确度 要求较高且需要估计误差时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时 给出误差公式。 设函数fx)在含有xo的开区间内具有直到(+1)阶导数，现在我们希望做 的是：找出一个关于(x-0)的n次多项式 Pn(x)=ao+ai(x-xo)+a2(x-xo)2+...+an(x-xo)" 来近似表达x),要求px)与x)之差是比(x-xo)”高阶的无穷小，并给出误 差fx)-pn(x)的具体表达式. 我们自然希望p(x)与x)在o的各阶导数（直到(+1）阶导数)相等，这样 就有 pnx=aota1(r-0Ha2x-xo)2+·+anx-x0)”, p(x)=a+2az(x-xo)+..+nan(x-xo)"1, pn"x-2a2+3-2a30-0)+…+n(m-l)an-0)-2, pm”"(x3la3+4-3-2a4-0）+…+n(n-l)n-2)anK-0)m3, pn((x)=n!an. 于是 pn(xo)=ao,pn'(xo=a1,pn"(xo)=2!a2,pn""(x=3la3,....Pn (m)(x)=n!an. 按要求有 Axo)=pn(xo)=ao,f'(xo)=pn(xo)=a1,f"(xo)=pn"(xo)=2!a2,f""(xo) pn"(x上31a3, fm(xo)卢)=nlan. 从而有 ao-Ao)afo),)() a=府)k=0,12m 第5页

银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 5 页 第二节 泰勒公式 对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来 近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘 三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道 当|x|很小时 有如下的近似等式 e x 1x ln(1x) x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在 着不足之处 首先是精确度不高 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大小 因此 对于精确度 要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时 给出误差公式 设函数 f(x)在含有 x0 的开区间内具有直到(n1)阶导数 现在我们希望做 的是 找出一个关于(xx0 )的 n 次多项式 p n(x)a 0a 1(xx0 ) a 2(xx0 ) 2      a n (xx0 ) n 来近似表达 f(x) 要求 p n(x)与 f(x)之差是比(xx0 ) n 高阶的无穷小 并给出误 差| f (x) p n (x)|的具体表达式 我们自然希望p n(x)与f(x)在x0 的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等 这样 就有 p n(x)a 0a 1(xx0 ) a 2(xx0 ) 2     a n (xx0 ) n  p n(x) a 12 a 2(xx0 )    na n (xx0 ) n1  p n(x) 2 a 2  32a 3(xx0 )     n (n1)a n (xx0 ) n2  p n(x) 3!a 3 432a 4(xx0 )     n (n1)(n2)a n (xx0 ) n3         p n (n) (x)n! a n  于是 pn (x0 )a 0  p n (x0 ) a 1  p n (x0 ) 2! a 2  p n (x) 3!a 3      p n (n) (x)n! a n 按要求有 f(x0)p n(x0) a0 f (x0) p n (x0) a 1  f (x0) p n (x0) 2! a 2  f (x0) p n (x0) 3!a 3        f (n) (x0) p n (n) (x0)n! a n  从而有 a 0f(x0 ) a 1f (x0 ) ( ) 2! 1 2 0 a  f  x      ( ) 3! 1 3 0 a  f  x  ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n   ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k  (k0 1 2    n)