银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第五章 定积分

银川能源学院《高签数学》救朱 第五童定积分 章节名称： 第五章 定积分 教学内容与学时分配：(12学时) 1、定积分的概念；(2学时) 2、定积分的性质：(2学时) 3、微积分基本公式：(2学时) 4、定积分的换元积分法和分部积分法：(2学时) 5、广义积分：(2学时) 6、定积分的应用：(2学时)》 教学目的和要求： 1、理解定积分的概念：理解元素法的基本思想。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理：掌握定积分的换元积分法与分部积分法；掌握 用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面 积、平行截面面积为已知的立体体积)：掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引 力、压力和函数的平均值等)。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿一莱布尼茨公式。 4、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已 知的立体体积。 5、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 5、截面面积为已知的立体体积。 6、引力。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入： 2、内容讲解： 3、学生练习： 4、小结 教学手段： 启发式教学，讲练结合 作业： 课后部分习题 第1页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 1 页 章节名称： 第五章 定积分 教学内容与学时分配：（12 学时） 1、定积分的概念；（2 学时） 2、定积分的性质；（2 学时） 3、微积分基本公式；（2 学时） 4、定积分的换元积分法和分部积分法；（2 学时） 5、广义积分；（2 学时） 6、定积分的应用；（2 学时） 教学目的和要求： 1、理解定积分的概念；理解元素法的基本思想。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；掌握 用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面 积、平行截面面积为已知的立体体积）；掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引 力、压力和函数的平均值等）。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 4、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已 知的立体体积。 5、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 5、截面面积为已知的立体体积。 6、引力。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入； 2、内容讲解； 3、学生练习； 4、小结 教学手段： 启发式教学，讲练结合 作业： 课后部分习题

银川能源学院《高签数学》救案 第五童定积分 第一节 定积分概念 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形：设函数y=x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0 及曲线=∫(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边， 求曲边梯形的面积的近似值： 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个等宽的 小矩形代替，每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积，则所有小矩 形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：在区间[a,b]中任意插 入若干个分点 a=x0<x1<X2<··<xm-1<xn=b, 把[a,b]分成n个小区间 [xo,x],[x1,x2],[x2,x3l,·,[xm-l,xn], 它们的长度依次为△r=x1-x0,△x2=x2-x1,··,△xm=Xn-Xm-1· 经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯 形.在每个小区间 [x-,x]上任取一点ξ1，以[x-,x,]为底、f(5)为高的窄矩形近似替代第i个窄 曲边梯形(i=1,2,···,n),把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边 梯形面积A的近似值，即 Af(51)△x1+f(52)Ax2++f(5n)△n=2f传)Ax. i=l 求曲边梯形的面积的精确值： 显然，分点越多、每个小曲边梯形越窄，所求得的曲边梯形面积A的近似 值就越接近曲边梯形面积A的精确值，因此，要求曲边梯形面积A的精确值， 只需无限地增加分点，使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记 =max{△x,△x2,··,△xn,于是，上述增加分点，使每个小曲边梯形的宽度趋 于零，相当于令入→0.所以曲边梯形的面积为 4=lim ()Ax. 「无0a1 2.变速直线运动的路程 设物体作直线运动，己知速度=v()是时间间隔[T1,T2]上1的连续函数， 且()≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程S. 求近似路程： 我们把时间间隔[T1,T2]分成n个小的时间间隔△，在每个小的时间间隔 △1内，物体运动看成是均速的，其速度近似为物体在时间间隔△内某点5，的 速度(t),物体在时间间隔△内运动的距离近似为△S=(x)△i.把物体在 每一小的时间间隔△，内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T,，T]内所 经过的路程S的近似值.具体做法是： 在时间间隔[T1,T]内任意插入若干个分点 T1=t0<t1<t2<·<tm-1<1=T2, 把[T1,T]分成n个小段 [toti小，[t1,t2l,[tml,tn], 第2页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 2 页 第一节 定积分概念 一、定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数 yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的 小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩 形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插 入若干个分点 ax0 x1 x2    xn1 xn b 把[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1  经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯 形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点 i  以[xi1 xi ]为底、f ( i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄 曲边梯形(i1 2     n)  把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边 梯形面积 A 的近似值 即 Af ( 1)x1 f ( 2)x2   f ( n )xn     n i i i f x 1 ( )  求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似 值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋 于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为      n i i i A f x 1 0 lim ( )   2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S  求近似路程 我们把时间间隔[T 1 T 2]分成 n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔 ti 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti 内某点i 的 速度 v(i) 物体在时间间隔ti 内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在 每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所 经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点 T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2 把[T 1  T 2]分成 n 个小段 [t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 各小段时间的长依次为 △t1=t1-10,△12=t2-t1,,△1n=tn-tm1. 相应地，在各段时间内物体经过的路程依次为 △S1,△S2,,△Sn- 在时间间隔[t-l,t上任取一个时刻x,(亿-1<tK1),以x时刻的速度(x) 来代替[t-,t上各个时刻的速度，得到部分路程△S,的近似值，即 △S=(t)△1i(i=1,2,…,n) 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值， 即 S=A, 求精确值： 记入=max{△11，△12，，△1m,当)-→0时，取上述和式的极限，即得变速直 线运动的路程 S-lim (r)AL. 0e1 设函数y=x)在区间[a,b]上非负、连续.求直线=a、=b、y=0 及曲线=∫(x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点a=xo<x1<x2<<xm-1<xn=b把区间[a,b]分成n个小区间： [xo,x],[x,x],[x2,x3],·,[xm-1,xn],记△x=x-x-1(i=1,2,·,n) (2)任取5，∈x-,x,以[x-1,为底的小曲边梯形的面积可近似为 f)△x(i=1,2,·,n;所求曲边梯形面积A的近似值为 4-A (3)记=max{△x1,△x2,,△xn},所以曲边梯形面积的精确值为 A=lim∑f(5)△x,. i=l 设物体作直线运动，己知速度=()是时间间隔[T,T]上1的连续函数， 且()≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程S. (1)用分点T=0<<2<·<1m1<1m=T2把时间间隔[T1,T2]分成n个小时间 段：[o,小，[4，l,,[r-l,,记△=t-t-1(i=l,2,…,m). (2)任取∈[-，，在时间段[-1，月内物体所经过的路程可近似为()△ (i=1,2,·,n;所求路程S的近似值为 爱. (3)记=max{△11，△2，·，△1n},所求路程的精确值为 第3页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 3 页 各小段时间的长依次为 t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为 S 1 S 2    S n 在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i (t i1 i t i) 以 i 时刻的速度 v( i) 来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即 S i v( i)t i (i1 2     n) 于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即     n i i i S v t 1 ( )  求精确值 记  max{t 1 t 2   t n} 当0 时 取上述和式的极限 即得变速直 线运动的路程      n i i i S v t 1 0 lim ( )   设函数 yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点 ax0x1x2   xn1xn b 把区间[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1 (i1 2     n) (2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为 i i f ( )x (i1 2     n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为    n i i i A f x 1 ( )  (3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为     n i i i A f x 1 0 lim ( )   设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S  (1)用分点 T1t0t1t2  t n1tnT2 把时间间隔[T 1  T 2]分成 n 个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1 (i1 2     n) (2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为 v(i)ti (i1 2     n) 所求路程 S 的近似值为    n i i i S v t 1 ( )  (3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加 以概括，就抽象出下述定积分的定义。 定义设函数x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<x2<·.<xn-1<xw=b, 把区间[a,b]分成n个小区间 [xo,X1],[X1,x2],.,[xn-1,xn], 各小段区间的长依次为 △x1=x1-x0,△x2=x2-x1,,△xn=xn-xm-1 在每个小区间[x-,x]上任取一个点5：(x-1<5:<x,作函数值f(5)与小区间长 度Ax,的乘积 f()△x(=1,2,,n),并作出和 s=2f()Ax,. 记入=max{△x1,△r2,··,△xm},如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间 x一，x上点5：怎样取法，只要当→0时，和S总趋于确定的极限I,这时我 们称这个极限I为函数fx)在区间[a,上的定积分，记作fx本， 即 rxh=m2f传A. 其中fx)叫做被积函数，fx)dk叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下 限，b叫做积分上限，【a,b]叫做积分区间 定义 设函数x)在[a,b]上有界，用分点a=x<x1<x2<·<xm1<xn=b把 [a,b分成n个小区间：[xo,x],x1,xl,xml,x,记△x=x-x1(i=l,2,,m). 任5ix-l,x(i=1,2,,nm,作和 S-2f54. 记=max{△x,△x2,·,△xn,如果当2-→0时，上述和式的极限存在，且极 限值与区间[a,b]的分法和5，的取法无关，则称这个极限为函数x)在区间[a,b] 上的定积分，记作心fx达， 即 ()dx=lim()Ax i=l 根据定积分的定义，曲边梯形的面积为A=fx 变速直线运动的路程为S=0d。 第4页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 4 页     n i i i S v t 1 0 lim ( )   二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加 以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数 f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2    xn1 xnb 把区间[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  各小段区间的长依次为 x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1 在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i (xi1  i  xi) 作函数值 f ( i)与小区间长 度xi 的乘积 f ( i)xi (i1 2   n)  并作出和     n i i i S f x 1 ( )  记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间 [xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我 们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间[a b]上的定积分 记作  b a f (x)dx  即       n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )   其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下 限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间 定义 设函数 f(x)在[a b]上有界 用分点 ax0x1x2   xn1xnb 把 [a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n) 任 i[xi1 xi] (i1 2   n) 作和    n i i i S f x 1 ( )  记max{x1 x2   xn} 如果当0 时 上述和式的极限存在 且极 限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b] 上的定积分 记作  b a f (x)dx  即      n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )   根据定积分的定义 曲边梯形的面积为   b a A f (x)dx  变速直线运动的路程为 S v t dt T T ( ) 2 1   

银川能源学院《高签数学》救案 第五章定积分 说明：(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法 无关，即 f(xx=f(dt=f(uydu. ②和空54通常称为了：的积分和：定积分1 是和式的极限， 利用“-6”式定义，定积分的定义可精确地表述如下： 设有常数I,如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数6，使得对于 区间[a,b)]任意分法及小区间[x-x]上点5任意取法，只要入<6时，总有 ε成立，则称I是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 ∫心fe达 (3)如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在区间[a,b]上可 积. (4)在积分心fx)杰的定义中，总是假设a<b,为了以后使用方便起见， 对于a=b,a>b的情形作如下规定： 当a=b时， ∫心fxdk=-0: 当a>b时， fx=-ft。 函数x)在[a,b上满足什么条件时，fx)在[a,]上可积呢？ 定理1设fx)在区间[a,b]上连续，则fx)在[a,b]上可积。 定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b 上可积 三、定积分的几何意义 在区间[a,)]上，当x)20时，积分心fxt在几何上表示由曲线=fx、两 条直线=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当x)s0时，由曲线y=∫(x)、 两条直线x=、=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定义分在几何 上表示上述曲边梯形面积的负值； /xk=m立A=-m上-传Ax=直-fk. →0 0 当f(x)既取得正值又取得负值时，函数x)的图形某些部分在x轴的上方， 而其它部分在x轴的下方.如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面 积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分 心fx)达的几何意义为：它是介于x轴、函数x)的图形及两条直线x=Q、=b y=f(x) 第5页 A

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 5 页 说明 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法 无关 即      b a b a b a f (x)dx f (t)dt f (u)du  (2)和    n i i i f x 1 ( ) 通常称为 f (x)的积分和；定积分 ( ) b a f x dx  是和式的极限， 利用“ - ”式定义，定积分的定义可精确地表述如下： 设有常数 I，如果对于任意给定的正数  ，总存在一个正数  ，使得对于 区间 [ , ] a b 任意分法及小区间 1 [ , ] i i x x  上点 i  任意取法，只要    时，总有 1 ( ) n i i i f x I       成立，则称 I 是函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上的定积分，记作 ( ) b a f x dx  (3)如果函数 f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间[a b]上可 积 (4)在积分 ( ) b a f x dx  的定义中，总是假设 a b  ，为了以后使用方便起见， 对于 a b a b = ,  的情形作如下规定： 当 a b= 时， ( ) =0 b a f x dx  ； 当 a b  时， ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx     。 函数 f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？ 定理 1 设 f (x)在区间[a b]上连续 则 f (x) 在[a b]上可积 定理 2 设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b] 上可积 三、定积分的几何意义 在区间[a b]上 当 f(x)0 时 积分  b a f (x)dx 在几何上表示由曲线 yf (x)、两 条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、 两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何 上表示上述曲边梯形面积的负值                b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0      当 f (x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面 积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分  b a f (x)dx 的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb y y f x  ( ) A3 A5 A1