《高等数学》课程教学资源（习题选解）第九章 曲线积分与曲面积分

第九章曲线积分与曲面积分习题全解 习题9-1 1.计算下列对弧长的曲线积分： ()∫(x+y)心，其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段： 解(1)因为直线方程为x+y=1,所以j(x+yd=∫1ds=V反。 (2)重，(x2+y2)”d,其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2x): 解(2)，(x2+y2)yds=i,(a2cos2t+a2sin2t）”ds=a21ds=2πa2m1。 (3)重xd,其中L为由直线y=x及抛物线y=x己所围成的区域的整个边界： 解(3)重xd=xd+,xd=6xV+ex2Tdr+6xV+xTdr -i+4r+-=8号0+4ry6+x=b65+65-. (④)山ed西，其中L为圆周x2+y2=ad2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界. 解(4)设L=4+山，+，（如图9=10所示，则1，e可=之，e可 :{0s9。.-+- ly=x' 重，e可b=fea=efe-l h:0e1经女-mdm-a te可w=jeai=年ae 4:{00ssa,-+ ev ds=fe'dx =e"-1

1 第九章 曲线积分与曲面积分习题全解 习 题 9－1 1．计算下列对弧长的曲线积分： (1) ( ) L x y ds  ，其中 L 为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段； 解（1）因为直线方程为 x y   1 ，所以 ( )d 1d 2 L L   x y s s    。 (2) 2 2 ( )n L  x y ds  ，其中 L 为圆周 x a t  cos ， y a t  sin (0 2 )  t  ； 解（2） 2 2 ( )n L  x y ds  =   2 2 2 2 2 2 1 cos sin 2 n n n L L a t a t ds a ds a        。 (3) d L x s  ，其中 L 为由直线 y x  及抛物线 2 y x  所围成的区域的整个边界； 解（3） 1 2 1 1 2 2 2 0 0 d d d 1 [( ) ] d 1 [( ) ] d L L L x s x s x s x x x x x x              1 1 2 2 3/ 2 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 4 d 2d [(1 4 ) ] [ 2 ] (5 5 6 2 1) 8 3 2 12          x x x x x x x   。 (4) 2 2 x y L e ds   ，其中 L 为圆周 2 2 2 x y a   ，直线 y x  及 x 轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界． 解（4）设 L L L L    1 2 3 （如图 9-10 所示），则 2 2 2 2 3 1 i x y x y L L i e ds e ds        L1 ： x x y x      ， 2 0 2  x a ，     2 2 ds dx dy dx    2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 0 2 1 a a x y x x a L e ds e dx e e         L2 ： cos sin x a t y a t      ，0 4 t    ， 2 2 2 2 ds a t a tdt adt    sin cos 2 2 2 4 0 4 x y a a L e ds e adt ae         L3 ： 0 x x y      ，0  x a ，     2 2 ds dx dy dx    2 2 1 0 1 a x y x a L e ds e dx e      

故重e-ie可=e-1+ar4e-1=e+2. 2.计算下列对弧长的曲线积分： 1 r+y+F山，其中T为曲线x=Ccos,y=Csn,:=d上相应于1从0变 到2的这段弧： 解(1)由于d=Va)2+(d)2+(d) -e (cost-sint)+[e(sint+cost)+(ed=d (2)∫xz,其中T为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、(0,0， 2)、(1,0,2)、(1,3,2): 解(2)已知T=AB+BC+CD,注意到 AB:x=0,y=0,z=1,0≤1≤2，BC:x=1,y=0,z=2,0≤1≤1 (在AB及BC上，被积函数xz等于零，∫西xzd=cxzd=0) CD:x=l,y=t,z=2,0≤1≤3，ds=V)2+(d)2+(d)}'=di, 则rxzd=∫x2zd+cx2zds+jx2zd=可xzds=21d=9。 (3)j2yds,其中L为摆线的-拱x=a1-sin),y=a(1-cos)(0≤1≤2π)： (3)Syds="a'(1-cost)a(t-sint)+[a(1-cost)d (cacdrsin =om'sm时=w0-awas管c. (④j(x2+y)ds其中L为曲线x=a(cost+isin),y=a(sint-tcos)(0≤1≤2π). 解④由于ds=Vd+(d'-(at cos）'+(atsin）di=amd t 所以Jx2+y)d=[a2(cos1+1sin1）+d2(sint-1cos）]adh 2

2 故 2 2 2 2 3 1 1 1 2 2 i 4 4 x y x y a a a a L L i e ds e ds e ae e e a                        。 2．计算下列对弧长的曲线积分： (1) 2 2 2 1 ds x y z     ，其中  为曲线 cos t x e t  ， sin t y e t  ， t z e  上相应于 t 从 0 变 到 2 的这段弧； 解(1)由于       2 2 2 ds dx dy dz          2 2 2 cos sin sin cos 3 t t t t           e t t e t t e dt e dt     所以   2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 3 3 3 3 1 2 2 2 2 t t t t ds e dt e dt e e x y z e                 。 (2) 2 x yzds  ，其中  为折线 ABCD ，这里 A 、 B 、C 、 D 依次为点(0，0，0)、(0，0， 2)、(1，0，2)、(1，3，2)； 解(2)已知     AB BC CD , 注意到 AB ： x y z t t      0, 0, , 0 2 ， BC ： x t y z t      , 0, 2 , 0 1 （在 AB 及 BC 上，被积函数 2 x yz 等于零， 2 2 0 AB BC   x yzds x yzds   ） CD ： x y t z t      1, , 2 , 0 3，       2 2 2 ds dx dy dz dt     ， 则 3 2 2 2 2 2 0 2 9 AB BC CD CD x yzds x yzds x yzds x yzds x yzds tdt             。 (3) 2 d L y s  ，其中 L 为摆线的一拱 x a t t   ( sin ) ， y a t   (1 cos ) (0 2 )  t  ； 解（3） 2 2 2 2 2 2 0 d (1 cos ) [ ( sin ) ] [ (1 cos ) ] d L y s a t a t t a t t          2 2 2 2 3 5 0 0 1 (1 cos ) 2 (1 cos )d 2 4 2 sin d 2 a t a t t a t t         2 2 3 4 3 2 2 3 0 0 1 1 1 1 256 8 sin sin d 8 (1 cos ) dcos 2 2 2 2 15 a t t t a t t a         。 (4) 2 2 ( ) L x y ds  其中 L 为曲线 x a t t t   (cos sin )， y a t t t   (sin cos ) (0 2 )  t  ． 解(4)由于         2 2 2 2 ds dx dy at t at t dt atdt      cos sin ， 所以     2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) cos sin sin cos L x y ds a t t t a t t t atdt             

-40+rh=a5+-2r0*r) 3.计算∫ly1d,其中L是双扭线(x2+y2)2=a2(x2-y2),(a>0)一周。 解：在极坐标系下，L:r2=a2cos20,它在第一象限部分为 L:r=a√c0s20(0≤9≤4)利用对称性，得 I=4 yds=4frsim(0)do=4adeos20sim0-a d0 cos28 -rs如8a0-4rcm时“-4d0-9)-20-万a. 4.求空间曲线x=31,y=312,2=213从O0,0,0)至A(3,3,2)的弧长 解 由于ds=Vd)2+(dy)2+(d)2, =√9+36t2+361d=31+21)d 所以所求弧长s=d=31+2=31+2=6。 5.求半径为a、中心角为20的均匀圆弧（线密度p=1) 的重心 图9-1 解取坐标系如图9-1所示，由对称性知，y=0, xpds xds pds ds 2a0 4h=2aoacas0-ad0-8sn优-a02 6.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=t,其中0≤t≤2π，它的线 密度p(x,乃)=x2+y2+z2.求： (1)它关于z轴的转动惯量I:(2)它的重心坐标 ds=(dx)+(dy)+(d)=(-asinx)'+(acosx)'+kdi=a+k'dt M=J P(x,y.ls=J(++ys=f"(a cos't+a'sin't+kP)a+kd 3

3     2 2 4 2 3 2 3 2 3 2 0 0 1 2 1 2 2 4 t t a t t dt a a                  。 3．计算 | | d , L y s  其中 L 是双扭线 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ),( 0) x y a x y a     一周。 解：在极坐标系下， 2 2 L r a : cos 2 ,   它在第一象限部分为 1 2 0 4 L r a : cos ( )       利用对称性 , 得 4 4 2 2 0 0 1 4 4 4 2 2 d sin ( ) ( ) d cos sin d cos L a I y s r r r a                   4 4 2 2 2 2 0 0 2 4 4 4 1 2 2 2 2 / a a a a sin d cos ( ) ( )              。 4．求空间曲线 2 3 x t y t z t    3 , 3 , 2 从 O(0,0,0) 至 A(3,3, 2) 的弧长． 解 由于       2 2 2 ds dx dy dz    ， 2 4      9 36 36 3(1 2 ) t t dt t dt 所以所求弧长   1 1 1 2 0 0 0 s ds t dt t t       3(1 2 ) 3 6   。 5．求半径为 a 、中心角为 2 的均匀圆弧（线密度  ＝1） 的重心． 解 取坐标系如图 9-1 所示，由对称性知 ， y  0， 0 1 1 sin cos sin 2 2 L L L L L x ds xds a a x xds a ad ds ds a a                            。 6．设螺旋形弹簧一圈的方程为 x a t  cos ， y a t  sin ，z kt  ，其中 0 2  t  ，它的线 密度 2 2 2 ( ) x y z x y z ， ，    .求： (1) 它关于 z 轴的转动惯量 z I ；(2) 它的重心坐标． 解           2 2 2 2 2 2 2 2 ds dx dy dz a x a x k dt a k dt          sin cos   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( , , ) ( ) cos sin L L M x y z ds x y z ds a t a t k t a k dt              L O a x  图 9-1

-a+小F+长=号匠F+(d+4r) (1)1.=j(x2+y)px,y2d=(x2+y)x+y2+z2) -c女+kr小后+安h-号a匠+(x+4rk) (2)重心坐标为(，以，2，其中 =c+r+h=aos(g+kr匠+ =[a后+cas+ak2+E.FcosiW ak2√a2+k2 ak2.4π 6ak2 Γ后+E(女+4好次) 3π3a2+4xk） 3a2+4π2k sasint-(d =[o匠+E.s+a后+E.esini ak2√a2+k ak2.(-4π2） -6πak2 号nF+(Ba+r 3x(3a2+4r22) 3a2+4π2k20 =6+广+s="(口+kr匠+ =匠+(ai+行h kWa+k2-(2aπ2+4πk2）3πk(a2+2n2k2） 号r后+(a+4r次】 3a2+4π2k2 7.求圆柱面x2+y2=2ax被球面x2+y2+z2=4a2所截取部分的侧面积A. x=a+acos0 解圆柱面在xOy面上的准线x2+y2=2ax的参数方程为L: y=asine (0≤0≤2r),又s=Vd)'+(d)'-V-asin'+(acos0)'dB=ad0 于是由对称性知：圆柱面x2+y2=2ax被球面x2+y2+2=4a2所截取部分的侧面积为 A=2 4a'-x2-y'ds=2[4a2-(a+acos0)2-(asin0)'ade 4

4     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 3 4 3 a k t a k dt a k a k           （1）      2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) z L L I x y x y z ds x y x y z ds              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 3 4 3 a a k t a k dt a a k a k           （2）重心坐标为  x y z , ,  ，其中   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) cos L x x x y z ds a t a k t a k dt M M           2 3 2 2 2 2 2 2 0 1 a a k t ak a k t t dt cos cos M                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 cos 2 2 3 4 3 4 3 4 3 3 ak a k ak ak t tdt a k a k a k a k                  。   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) sin L y y x y z ds a t a k t a k dt M M           2 3 2 2 2 2 2 2 0 1 a a k t ak a k t t dt sin sin M               2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 sin 2 3 4 3 ak a k t tdt a k a k             2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 2 3 4 3 4 3 ak ak a k a k             。   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) L z z x y z ds kt a k t a k dt M M             2 2 2 2 2 3 0 1 k a k a t k t dt M            2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 3 4 3 4 3 k a k a k k a k a k a k a k                 。 7．求圆柱面 2 2 x y ax   2 被球面 2 2 2 2 x y z a    4 所截取部分的侧面积 A . 解 圆柱面在 xOy 面上的准线 2 2 x y ax   2 的参数方程为 L ： cos sin x a a y a         0 2      ，又         2 2 2 2 ds dx dy a a d ad       sin cos     于是由对称性知:圆柱面 2 2 x y ax   2 被球面 2 2 2 2 x y z a    4 所截取部分的侧面积为 2 2 2 2 2 2 2 0 2 4 2 4 ( cos ) ( sin ) L A a x y ds a a a a ad             

=22aa9=rkosh=16ojfosh=16c. 8设曲线L:y=sin0,风，证明不等式：g刀≤d≤)2x, 证明：ds=xW+cosx≤d=2 另-方面，6+cos2xdr巴(a-1+cos7d crd-cos drc-co rd -ri7an号洁aaw0油9号 428 习题9-2 1.计算下列对坐标的曲线积分： (1)∫(x2-y),其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧： 解化为对x的定积分.L:y=x2,x=x,x从0变到2.所以 (2)xdr,其中L为圆周(x-a)2-y2=a2（a>0)及x轴所围成的在第一象限内的 区域的整个边界（按逆时针方向绕行）： [x=a+acost L: (0≤1≤x) y=asint 解(2)L=L+L2,其中 所以 x=x =0 (0sx≤2a） a(+cos )asin((a+acosdrd =-snrh+sin小-a2 (3)∫dr+xdy,其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint,上对应1从0到产的一段弧： (3)ydx+xdy=[Rsint(-Rsint)+RcostRcost]dt=RfPcos2rdt=0. 5

5 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 cos 8 cos 16 cos 16 2 a d a t dt a tdt a             。 8. 设曲线 L y x x : sin , [0, ]    ，证明不等式： 3 2 2 2 2 d . 8 2 L     x s  证明： 2 2 0 0 2 d 1 cos d 2 d . 2 L x s x x x x x           另一方面， 2 2 0 0 1 cos d ( ) 1 cos d x t x x x t t t             2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos d 1 cos d 1 cos d 1 cos d 2 t t t t t t t t t                    2 2 2 2 0 0 0 2 1 cos 1 2 3 3 2 1 cos d d (1 cos )d . 2 2 2 4 2 8 1 cos 2 t t t t t t t                      习 题 9－2 1．计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 2 ( ) L x y dx  ，其中 L 是抛物线 2 y x  上从点(0，0)到点(2，4)的一段弧； 解 化为对 x 的定积分． L ： 2 y x  ， x x  ， x 从 0 变到 2．所以 2 3 5 1 2 4 0 0 56 ( ) 3 5 15 x x I x x dx              ． （2） d L xy x  ，其中 L 为圆周 2 2 2 ( ) x a y a    （ a >0）及 x 轴所围成的在第一象限内的 区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； 解（2） L L L  1 2 ，其中 1 2 0 0 2 0 cos : ( ) sin : ( ) x a a t L t y a t x x L x a y                 所以 1 2 d d d L L L    xy x xy x xy x   2 0 0 (1 cos ) sin ( cos ) 0 a a t a t a a t dt dx           3 2 2 3 0 0 1 sin sin sin . 2 a tdt td t a           （3） d d L y x x y  ，其中 L 为圆周 x R t  cos ， y R t  sin ，上对应 t 从 0 到 2  的一段弧； 解（3） / 2 / 2 2 0 0 d d [ sin ( sin ) cos cos ]d cos 2 d 0 L y x x y R t R t R tR t t R t t           