习题5-1 1.利用定积分定义或几何意义计算下列定积分： (1)dx: (2)[e'dx. 解：(1) ∫Xd表示曲线y=,直线x=-1,x=-2及x轴所围平面图形的面积， 即 时d=州周方22 2 (2) ed=-2后=2eA=m2e月 n (取5=‘) n 1.12 lim-(e"+e"+...+e")=lim nlemll-(e"y]=lim (l-e)e" 9n1-e2 n(1-em) 因为当n→oo时，e”-10二，liml-ee-1-e 1 所以je'dx=im4-ee =e-1 习题5-2 2.证明定积分的性质： (1)∫对xr=k心fxd(k是常数)： (2)∫dr=b-a 正明：(D广地=24=k立=ke地(a=max,0,…,x,) e)广--2-2--恤日空-s日-a 3.比较下列各组积分值的大小： (1)nxdr与jn2xdr: (2)后cosxdx与sin xdx: (3)∫e'dr与+x)dr: (4)dcoxd
1 习题 5 1 1．利用定积分定义或几何意义计算下列定积分： （1） 2 1 x dx ； （2） 1 0 x e dx ． 解： （1） 2 1 x dx 表示曲线 y x ，直线 x 1， x 2 及 x 轴所围平面图形的面积， 即 2 1 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 x dx （2） 1 0 x e dx = 0 0 1 1 1 1 lim ( ) lim lim i i n n n n i i i n i i i f x e x e n （取 i i n ） 1 1 1 1 2 1 1 1 1 [1 ( ) ] (1 ) lim ( ) lim lim 1 (1 ) n n n n n n n n n n n n n e e e e e e e n n e n e 因为 当 n 时， 1 1 1 n e n ， 1 lim(1 ) 1 n n e e e 所以 1 0 x e dx 1 (1 ) lim 1 1 ( ) n n e e e n n 习题 5 2 2．证明定积分的性质： （1） ( )d ( )d b b a a kf x x k f x x （ k 是常数）； （2） d b a x b a ． 证明：（1） ( )d b a kf x x 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) n n i i i i i i kf x k f x k ( )d b a f x x （ max( , , , ) 1 2 n x x x ） （2） d b a x 1 d b a x 0 0 1 1 lim ( ) lim n n i i i i i f x x 1 1 lim lim 1 lim n n n n n i i b a b a b a n b a n n n 3．比较下列各组积分值的大小： （1） 2 1 ln dx x 与 2 2 1 ln dx x ； （2） 4 0 cos xdx 与 4 0 sin xdx ； （3） 1 0 e dx x 与 1 0 (1 )d x x ； （4） 2 2 0 cos x e xdx 与 2 2 2 0 cos x e xdx ． x y 1 O 2
解：(1)当x∈[l,2]时，0≤lnr≤1，lnx≥(nx)2,由性质5的推论1知：∫nxdr≥∫m2xd 2)）当xe0,孕时，e≥l+x,所以ash≥原smd (3)当x∈[0，]时，e≥f+x)d (4)因为。ecos2d=ecos2xdr+ecos2xdk,当x∈[z,2r]时，f)=c20, 所以ecos2xdk20,故cs2xd≤ecos2xd 4.估计下列各积分值： (1)∫+sim2xr: (3)e-dx. 属①因为x匠好时，11m2,所经-导月0+m地得-》 即 π≤0+sin2x≤2元 《2)先求人ar81在区间5厂3上的最大值和最小值，因在5上， 球are应>，所以最大值M=√=3=后，最小值 3 3 9 (3)先求f=e产在区间[0,2]上的最大值和最小值，f)=e-(2x-1),令f)=0,得x=} 又f0)=e=l,f=e拉=e,f2)=e=e,所以最大值M=2危，最小值 m=f分)=e,故2ei≤e-ds2e2,e-=-e-d,即-2e2≤0e-d≤-2e. 习题5-3 1.完成下列各题： ①&few: 4)设p)可导，f)连续，求品0： (5)设fx)在[0，+o)上可导，且f)1=x20+x),求f"(2): (6)求由心ed+cosdr=-0所确定的隐函数对x的导数： (7)求由参数表达式x=∫sinudu,y=∫cosud所确定的隐函数对x的导数. 2
2 解：（1）当 x [1, 2] 时， 0 ln 1 x ， 2 ln ln x x ，由性质 5 的推论 1 知： 2 1 ln dx x 2 2 1 ln dx x （2）当 [0, ] 4 x 时， 1 x e x ，所以 4 0 cos xdx 4 0 sin xdx （3）当 x [0,1] 时， 1 0 e dx x 1 0 (1 )d x x （4）因为 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 cos cos cos x x x e xdx e xdx e xdx ，当 x[ , 2 ] 时， 2 2 ( ) cos 0 x f x e x ， 所以 2 2 2 cos 0 x e xdx ，故 2 2 0 cos x e xdx 2 2 2 0 cos x e xdx 4．估计下列各积分值： （1） 5π 2 4 π 4 (1 sin )d x x ； （2） 3 1 3 x x x arctan d ； （3） 0 2 2 e d x x x ． 解：（1）因为 5 [ , ] 4 4 x 时， 2 1 1 sin 2 x ，所以 5π 4 2 π 4 5π π 5π π (1 sin )d 2 4 4 4 4 x x ， 即 5π 4 2 π 4 (1 sin )d 2 x x （ 2 ） 先 求 f x x x ( ) arctan 在区间 3 [ , 3] 3 上 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 因 在 3 [ , 3] 3 上 ， 2 ( ) arctan 0 1 x f x x x ， 所 以 最大值 ( 3) 3 arctan 3 3 M f ， 最 小 值 3 3 3 ( ) arctan 3 3 3 6 3 m f ，故 3 1 3 1 1 3 arctan d 3 6 3 3 3 3 x x x ，即 3 1 3 2 arctan d 9 3 x x x （3）先求 2 ( ) x x f x e 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值， 2 ( ) (2 1) x x f x e x ，令 f x ( ) 0 ，得 1 2 x ， 又 0 f e (0) 1 ， 1 1 1 4 2 4 1 ( ) 2 f e e ， 4 2 2 f e e (2) ， 所 以 最大值 2 M f e (2) ， 最 小 值 1 4 1 ( ) 2 m f e ，故 2 1 2 4 2 0 2 e d 2 x x e x e ， 0 2 2 2 2 0 e d e d x x x x x x ，即 2 1 0 2 4 2 2 e d 2 x x e x e ． 习题 5-3 1.完成下列各题： （1） d ( )d d b a f x x x ； （2） 1 d sin d d x x t t x ； （3） 2 d 2 1 d d x x e t t x ； （4）设 ( ) x 可导， f x( ) 连续，求 d ( ) ( )d d x a f t t x ； （5）设 f x( ) 在 [0, ) 上可导，且 2 2 0 ( )d (1 ) x f t t x x ，求 f (2) ； （6）求由 0 0 d cos d 0 y x t e t t t 所确定的隐函数对 x 的导数； （7）求由参数表达式 0 sin t x udu ， 0 cos t y udu 所确定的隐函数对 x 的导数．
解0D&广灿=0 2)&sn-广smd+sm: (3) &i+rd-i+ra-品ri7 -+()()-+(e)(e)-2x+x-+: 令F=0,"=o.F=0a,则品0a-四安-eo咖： du dx (5)对等式f0=x2(1+)两边同时关于x求导，得fx2)-2x=2x+3x2, 即0=1宁，此成两边对x求导，得c2x取x=反，则/2- 8 (6)方程两边同时关于x求导，得。.少+c0s=,即y=-c0sx e d少 (7) cost cott dx dx d sin udu sint dt dt Jo 2.求下列极限： cost'dt (1)lim x+0 (2)m sintdr ) 0 Par 解：(1)lim ["cost'dr =lim COSx2 =1: 1 Jo sintdt (2) 2xsinx2 L'rdr =lim =-2; →0 -x ≤-2 lim Sinx2 0x2 (3) u e22 =2 3.计算下列各定积分： wjar-x+t:e)Rw:gx+:ew ()de hndr)nt 3
3 解：（1） d ( )d d b a f x x x =0； （2） 1 1 d sin d sin d sin d x x x t t t t x x x ； （3） 2 2 d d d 2 2 2 1 d 1 d 1 d d d d x x x x e e a a t t t t t t x x x 2 2 2 2 4 2 1 1 2 1 1 x x x x x x e e x x e e ； （4）令 F x( ) ( ) ( )d x a f t t ，u x ( ) ， F x( ) ( )d u a f t t ，则 d ( ) ( ) ( )d ( ( )) ( ) d x a dF u du f t t f x x x du dx ； （5）对等式 2 2 0 ( )d (1 ) x f t t x x 两边同时关于 x 求导，得 2 2 f x x x x ( ) 2 2 3 ， 即 2 3 ( ) 1 2 f x x ，此式两边对 x 求导，得 2 3 ( ) 2 2 f x x ，取 x 2 ，则 3 2 (2) 8 f ； （6）方程两边同时关于 x 求导，得 cos 0 y dy e x dx ，即 cos y x y e ； （7） 0 0 cos cos cot sin sin t t dy d udu dy t dt dt t dx t dx d udu dt dt ． 2.求下列极限： （1） 2 0 0 cost d lim x x t x ； （2） 2 0 0 0 3 sin d lim d x x x t t t t ； （3） 2 2 2 0 0 2 0 d lim d x t x x t e t te t ． 解：（1） 2 2 0 0 0 cost d cos lim lim 1 1 x x x t x x ； （2） 2 2 2 0 0 3 2 0 0 0 3 sin d 2 sin sin lim lim 2lim 2 d x x x x x t t x x x x x t t ； （3） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 d 2 d d 1 lim lim 2lim lim 2lim 2 1 d x t x x x t t x x x x x x x x x t e t e e t e t e xe e x te t ． 3.计算下列各定积分： （1） 3 2 1 (3 1)d x x x ； （2） 9 4 x x x (1+ )d ； （3） 2 2 1 1 ( ) d x x x ； （4） 3 1 2 3 1 d 1+ x x ； （5） 1 0 2 1 d 4 x x ； （6） 2 0 sin d x x ； （7） 2 0 cos d 2 x x ； （8） 4 2 0 tan dx x ；
o以丧a,a-: oraw地=ot-[居+号r-1sg台-s-65g u*7w-ew+2*nw-[昏+2--号4-21-g 23 6 wi邮-ecmg=aan5-am万骨-名-名 1ππ_π of宿岭引8 (6sinx=sinvdx-sinxdx=[-cos+cos4: )os5=+cosd=+sm-号 ()tn'xdx-(see-1)dx=[tanx- o)-[+,=-he=-l oet-ew-sa-+fe-号+eI-子+e-e 4.设 f(x)= 0≤x<1 x+1,1≤x≤2 求(x)=f)d在0,2]上的表达式，并讨论(x)在(0,2)内的连续性. 解，当0s<时，a=0a-ra=-号 当1sx≤2时，x)=f0=fod+广fut=d+d [間号 4
4 （9） 2 1 d e 1 x x ； （10） 3 0 f x x ( )d ，其中 , 0 1 ( ) , 1 3 x x x f x e x ． 解：（1） 3 2 3 2 3 1 1 9 1 (3 1)d 27 3 1 1 24 2 2 2 x x x x x x ； （2） 9 1 3 9 9 2 2 2 4 4 4 2 1 81 16 1 (1+ )d ( )d 18 8 45 3 2 2 3 6 x x x x x x x x ； （3） 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 8 1 1 29 ( ) d ( 2 )d 2 4 2 1 3 3 2 3 6 x x x x x x x x x ； （4） 3 3 1 1 2 3 3 1 1 d arctan arctan 3 arctan 1+ 3 6 6 3 x x x ； （5） 1 1 0 0 2 2 1 1 d d 4 2 1 2 x x x x 1 0 1 arcsin arcsin 2 2 6 x ； （6） 2 2 2 0 0 0 sin d sin d sin d cos cos 4 x x x x x x x x ； （7） 2 0 0 0 1 1 cos d 1+cos d sin 2 2 2 2 x x x x x x ； （8） 4 4 2 2 4 0 0 0 tan d sec 1 d tan 1 4 x x x x x x ； （9） 2 2 1 1 d ln 1 ln 1 1 e e x x e x ； （10） 1 3 3 1 3 1 3 3 2 3 0 0 1 0 1 1 0 2 2 ( )d ( )d ( )d d d 3 3 x x f x x f x x f x x x x e x x e e e ． 4.设 2 , 0 1 ( ) 1 , 1 2 x x f x x x 求 0 ( ) ( )d x x f t t 在 [0, 2] 上的表达式，并讨论 ( ) x 在 (0, 2) 内的连续性． 解 ： 当 0 1 x 时， 3 3 2 0 0 0 ( ) ( )d d 3 3 x x x t x x f t t t t ； 当 1 2 x 时， 1 1 2 0 0 1 0 1 ( ) ( )d ( )d ( )d d d x x x x f t t f t t f t t t t t t ； 1 3 2 2 2 0 1 1 1 1 3 2 3 2 2 2 6 x t t x x
x∈[0,1) 故(x)= 因为limΦ(x)=lim x31）1 x21 (26,x∈，2] x→1-0 m263 1 ①(1)=。，所以①(x)在(0,2)内连续. 5.设k为正整数，证明下列各题： (I)cos kerd=-0:(2)sin kxd=0:（3)Jcos2ladr=T:(4）sinrd=元. m(o (sinad-[ookz-o0s()(ok)0. a》-0+owks-r-绿n2r] wanad-0-ew2us-2r-n2 6.设k及1为正整数，且k≠1，证明： (1)coskxsindx=0:(2)cosco=:(3)sin kxsindx=0. 证明：1 )csd=[sin+k)x+sin-k)x]d山r -0:r+70--0 (2)coskxcos/xdx=[cos(/+k)x+cos(/-k)x]dx :km++7m-=0: (3)sin kxsinbdx--[cos(I+k)x-cos(I-k)x]dx -m0:w刻0--0 7.设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0, Fw-o+0eia 证明： 5
5 故 3 2 , [0,1) 3 ( ) 1 , [1,2] 2 6 x x x x x ， 因为 3 1 0 1 0 1 lim ( ) lim x x 3 3 x x ， 3 1 0 1 0 1 1 lim ( ) lim x x 2 6 3 x x ， 1 (1) 3 ，所以 ( ) x 在 (0, 2) 内连续． 5.设 k 为正整数，证明下列各题： （1） cos d 0 kx x ；（2） sin d 0 kx x ；（3） 2 cos d kx x ；（4） 2 sin d kx x ． 证明：（1） 1 cos d sin 0 kx x kx k ； （2） 1 1 1 sin d cos cos cos cos cos 0 kx x kx k k k k k k k ； （3） 2 1 1 1 cos d 1 cos 2 d 2 sin 2 2 2 2 kx x kx x x k ； （4） 2 1 1 1 sin d 1 cos 2 d 2 sin 2 2 2 2 kx x kx x x k ． 6.设 k 及 l 为正整数，且 k l ，证明： （1） cos sin d 0 kx lx x ；（2） cos cos d 0 kx lx x ；（3） sin sin d 0 kx lx x ． 证明：（1） 1 cos sin d sin sin d 2 kx lx x l k x l k x x 1 1 1 cos cos 0 2 l k x l k x l k l k ； （2） cos cos d kx lx x 1 cos cos d 2 l k x l k x x 1 1 1 sin sin 0 2 l k x l k x l k l k ； （3） sin sin d kx lx x 1 cos cos d 2 l k x l k x x 1 1 1 sin sin 0 2 l k x l k x l k l k ． 7.设 f x( ) 在 [a, b] 上连续，且 f (x) 0， 1 ( ) ( )d d ( ) x x a b F x f t t t f t x [a, b] 证明：