总习题10 2.判别下列级数的收敛性： 之 1 ncos2 n (1) (2) (3) 3 6 ntn t (5) (a为常数) 解：()因 2”+6” 6 + 面级数子是公比为的等比级数，它收数。 但级数∑1发散，从而原级数发散： (2)4= 因为lim丝=lim于 nn n-→西1/nn-→og=1, 由比较审敛法的极限形式可知，该级数发散 ⊙》先讨论级数三兰的收敛生，记，=是 因为义-/经知+}片，所以级数三会收敛 ncos2 H 又因为un= 2” 2”=。,所以由比较审敛法可知，原级数收敛： 3≤ (4)4n= (y2 2n2 因为lim,1=li [(n+10川/(n2 [n+1]n2 =lim m→w4n→2(n+1)2/ 2n2 (n)2 a+=mn=+0, 所以由比值审敛法可知，原级数发散： (5)un= a" 因为lim a"+i a" 为=m+ -=,所以由比值审敛法可知。 =
1 总习题 10 2．判别下列级数的收敛性： （1） 1 2 6 6 n n n n ； （2） 1 1 n n n n ； （3） 2 1 cos 3 2 n n n n ； （4） 2 2 1 ! n 2 n n ；（5） 3 1 n n a n (a为常数). 解：（1）因 1 1 2 6 1 1 6 3 n n n n n n ，而级数 1 1 3 n n 是公比为 1 3 的等比级数，它收敛； 但级数 1 1 n 发散，从而原级数发散； （2） 1 n n u n n ， 因为 1 lim lim 1 1 n n n n u n n ， 由比较审敛法的极限形式可知，该级数发散 （3）先讨论级数 1 2 n n n 的收敛性，记 2 n nn v 因为 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 2 2 2 n n n n n n n v n n v n ，所以级数 1 2 n n n 收敛 又因为 2 cos 3 2 2 n n n n n n n u v ，所以由比较审敛法可知，原级数收敛； （4） 2 2 ! 2 n n u n ， 因为 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ! ! 1 ! lim lim lim lim 2( 1) 2 ! ( 1) n n n n n n u n n n n n u n n n n ， 所以由比值审敛法可知，原级数发散； （5） 3 n n a u n 因为 1 1 3 3 lim lim lim ( 1) 1 n n n n n n n u a a n a a u n n n ，所以由比值审敛法可知
4<1时收敛，>1时发散：又a=1时，级数2收敛，a=-1时，级数2-D si n n 绝对收敛，故原级数当als1时收敛，la>1时发散. 3. 已知级数2,2收敛，且u,>0,证明级数丛也收敛 n 证明：已知正项级数∑，和∑都收敛，由收敛级数的性质知+ 5(+w)必 n=1 收敛。又告≤对记+，所以由比技审致法可知，极数告收敛 设级数，收敛。且一之=1，问级数空，是否他收敛？试说明理由 4. n= 解：级数，不一定收敛 =1 因为：当级数∑n和∑y,都是正项级数时，由比较审敛法的极限形式可知，级 数立.一定收敛：但当级数2“和立不是正项级数时，级数∑，不一定收 敛如对于数豆旷方和引-r月显然豆-旷收数 lim- 却是发散的 5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性： (2) (1 (3) ∑-nn+ =1 解：(1)当p≤0时，由于4，--八0，所以由级数收敛的必要 月0
2 a 1时收敛，a 1时发散；又a 1时，级数 3 1 1 n n 收敛，a 1时，级数 3 1 ( 1) n n n 绝对收敛，故原级数当 a 1时收敛， a 1时发散. 3．已知级数 2 1 n n u 收敛，且 0 n u ，证明级数 1 n n u n 也收敛. 证明：已知正项级数 2 1 n n u 和 2 1 1 n n 都收敛，由收敛级数的性质知 2 2 1 1 1 ( ) 2 n n u n 必 收敛，又 2 2 1 1 ( ) 2 n n u u n n ，所以由比较审敛法可知，级数 1 n n u n 收敛. 4．设级数 1 n n u 收敛，且lim 1 n n n v u ，问级数 1 n n v 是否也收敛？试说明理由. 解：级数 1 n n v 不一定收敛. 因为：当级数 1 n n u 和 1 n n v 都是正项级数时，由比较审敛法的极限形式可知，级 数 1 n n v 一定收敛；但当级数 1 n n u 和 1 n n v 不是正项级数时，级数 1 n n v 不一定收 敛.例如对于级数 1 1 ( 1) n n n 和 1 1 1 ( 1) n n n n ，显然 1 1 ( 1) n n n 收敛， 1 1 ( 1) 1 lim lim 1 ( 1) 1 1 ( 1) n n n n n n n n n ，但 1 1 1 ( 1) n n n n 却是发散的. 5．讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性： （1） 1 1 ( 1) n p n n ； （2） 1 1 1 sin 1 ( 1) n n n n ； （3） 1 1 ( 1) ln n n n n ； （4） 1 1 ( 1) x n n n n e dx x . 解：（1）当 p 0时，由于 1 lim lim( 1) 0 n n p n n u n ，所以由级数收敛的必要
条件可知，原级数发散： 当0<p≤1时，a=,单调减少， =0，由莱布尼兹定理知原级数 m-+nP 收敛，而立，-2发散，故0<P≤1时原级数条件收敛 n 当p>1时， 品收敛放原级数绝对收致 =r.六-得”，到) 是公比为二的等比级数，它收敛，于是由比较审敛法可知，级数∑收敛，因 元 而原级数绝对收敛， (3)么，=（←1yn"+,因为m=m n(1+-) ,n=lim(l+马)”=lne=1,级数 n n→1/n→1 n 发散，所以比较审敛法的受限形式可知，。 a发散：又由于豆-lrn” 是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，所以该级数收敛，结合前面的讨论 可知，原级数条件收敛 x=er,k-re-得n-3,因a 数0 是公比为的等比级数，它收敛，利用收敛级数的性质知， 口-日收敛。于是由比较审敛法可如，级数交以收敛。散原级数绝对收 敛 6.证明下列极限： ()m (2)lim- n" (=0 解)+月-0+r-1.放级数20+广是收敛
3 条件可知，原级数发散； 当0 p 1时， 1 n p u n ，单调减少， 1 lim 0 p n n ，由莱布尼兹定理知原级数 收敛，而 1 1 1 n p n n u n 发散，故0 p 1时原级数条件收敛； 当 p 1时， 1 n p u n ， 1 1 p n n 收敛，故原级数绝对收敛. （2） 1 1 sin 1 ( 1) n n nn u ， 1 1 1 1 sin 1 1 1 ( 1) n n n n n n u ，又级数 1 1 1 n n 是公比为 1 的等比级数，它收敛，于是由比较审敛法可知，级数 1 n n u 收敛，因 而原级数绝对收敛. （3） 1 ( 1) ln n n n u n ，因为 1 ln(1 ) 1 lim lim limln(1 ) ln 1 1 1 n n n n n u n e n n n ，级数 1 1 n n 发散，所以比较审敛法的极限形式可知， 1 n n u 发散；又由于 1 1 ( 1) ln n n n n 是交错级数,且满足莱布尼茨判别法的条件，所以该级数收敛，结合前面的讨论 可知，原级数条件收敛. （4） 1 ( 1) x n n n n e u dx x ， 1 1 1 1 ( 1) (1 ) n x n n n x n n n e u dx e dx x e e ，因为级 数 1 1 n n e 是公比为 1 e 的等比级数，它收敛，利用收敛级数的性质知， 1 1 1 (1 ) n n e e 收敛，于是由比较审敛法可知，级数 1 n n u 收敛，故原级数绝对收 敛. 6．证明下列极限： （1） 2 1 1 1 1 lim 1 0 3 k n k n n k k ； （2） 2 lim 0 ( !) n n n n . 解：（1） 1 3 e ) 1 (1 3 1 ) lim 1 (1 3 1 lim 2 n n n n n n n n , 故级数 n n n n 1 n 2 ) 1 (1 3 1 是收敛
的正项致。◆-0之，则吧，设电，则有 m2g+=mm5=0-9=0. (2)记un= ,考虑正项级数2价的敛散性 n (nl)2 因为lim%au=limn+l(w =im1+1,=0,由比值判别法知，级数 nsu,n(n+1))2n"n→m nn+l 2收敛，于是m,=0,即m 台(nl)2 (2s0. 7.求下列幂级数的收敛区间： 1)3”+5 n 2) (3)nx+1: n=l 5 +1 解：(1)收敛半径R=lim3”+5”.、n+1 5lim +5 当x=时，级数成为2侵+，因为③”+>，而！发散，由比 n n=l n 较审敛法可知，级数”+发散：当x=-!时，级数成为 5 三(-心+，它是一个交错级数收敛，由莱布尼茨判别法可知其收敛 于是原级数收敛域为[片 1 =lim-1 1 (2)收敛半径R=lim- -三一 n e 由于正项数列{+马))单调减
4 的正项级数，令 n k k n k k s 1 2 ) 1 (1 3 1 ，则lim n n s 存在，设lim n n s s ，则有 2 1 1 1 1 1 lim (1 ) lim lim 0 0 3 n k k n n n n k s s n k n . （2）记 2 (n!) n u n n ，考虑正项级数 1 2 n ( !) n n n 的敛散性. 因为 1 2 1 2 ( 1) ( !) 1 1 lim lim lim(1 ) 0 (( 1)!) 1 n n n n n n n n u n n u n n n n ，由比值判别法知，级数 1 2 n ( !) n n n 收敛，于是lim 0 n n u ，即 0 ( !) lim 2 n n n n . 7．求下列幂级数的收敛区间： （1） 1 3 5 n n n n x n ； （2） 2 1 1 1 n n n x n ； （3） 1 ( 1) n n n x ； （4） 2 1 2 n n n n x . 解：（1） 收敛半径 5 1 5 5 3 3 1 5 3 1 lim 3 5 3 5 1 lim 1 1 n n n n n n n n n n n n R 当 5 1 x 时，级数成为 1 ) 1] 5 3 [( 1 n n n ，因为 n n n 1 ) 1] 5 3 [( 1 ，而 1 1 n n 发散，由比 较 审 敛 法 可 知 ， 级 数 1 ) 1] 5 3 [( 1 n n n 发 散 ； 当 5 1 x 时 ， 级 数 成 为 1 ) 1] 5 3 [( 1 ( 1) n n n n ，它是一个交错级数收敛，由莱布尼茨判别法可知其收敛. 于是原级数收敛域为 ) 5 1 , 5 1 [ . （2） 收敛半径 1 1 1 lim lim 1 e (1 ) n n n n n R a n ， 当 1 x e 时，级数成为 1 1 (1 ) ( ) n n n n n e ，由于正项数列 1 1 {(1 ) } n n 单调减
少且以e为极限(n→n),故(1+马>e,于是 即一“，￥0，故由级数收敛的必要条件可知，级数（出r 发散，即收 n-0 敛域为（日 (3).=nx+1）,1im-1im af-a 由比值审敛法可知，该幂级数当x+1<1,即-2<x<0时绝对收敛，当然收敛； 当x=-2时，级数成为∑(-l)n,由于lim(-1)”n≠0，所以级数发散；当x=0时， 级数成为∑n,由于imn≠0，所以级数发散.因而收敛域为(-2,0). (4)4n ，ma=m n x-号，由根值审敛法可知，当号<1， 月+0 -→2 2 即x<√2时，幂级数绝对收敛，当然收敛：当x=±2时，级数成为∑n,由于 n=l limn≠0，所以级数发散.幂级数的收敛域为(-√2，√2) 月00 8.求下列级数的和： r (1) (2)-) x2n-1 m台in(n+1） 台2n- (3) 2 (4)n 台nl 解：(1)设和函数为s),则s()-m》' i)s(0)=0, 5
5 少且以e 为极限（n ），故 1 1 (1 ) n e n ，于是 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 (1 ) (1 ) n n n n n n n n e e n n 即 0 lim 0 n n u ，故由级数收敛的必要条件可知，级数 1 1 (1 ) ( ) n n n n n e 发散，即收 敛域为 ) e 1 , e 1 ( （3） ( 1) n n u n x ， 1 1 1 1 1 lim lim 1 lim 1 1 1 n n n n n n n u n x x x u n x n ， 由比值审敛法可知，该幂级数当 x 1 1，即2 x 0 时绝对收敛，当然收敛； 当 x 2 时，级数成为 1 ( 1) n n n ，由于lim( 1) 0 n n n ，所以级数发散；当 x 0 时， 级数成为 n 1 n ，由于lim 0 n n ，所以级数发散.因而收敛域为(2,0). （4） 2 2 n n nn u x ， 2 2 lim lim 2 2 n n n n n n x u x ，由根值审敛法可知，当 1 2 2 x ， 即 x 2 时，幂级数绝对收敛，当然收敛；当 x 2 时，级数成为 n1 n ，由于 lim 0 n n ，所以级数发散. 幂级数的收敛域为( 2, 2). 8．求下列级数的和： （1） 1 ( 1) n n x n n ; （2） 1 2 1 1 ( 1) 2 1 n n n x n ; （3） 1 1 2 n n n ; （4） 2 1 ! n n n . 解：（1） 设和函数为s(x) ，则 1 ( ) ( 1) n n x s x n n ， i） s(0) 0