《高等数学》课程教学资源（习题选解）第八章 重积分

第八章 重积分习题全解 习题8-1 1.利用二重积分定义证明： (1)∬do=o（其中o是D的面积)： (2)∬付x,do=f,do(k为常数 2.证明性质8中(1)设积分域D关于x轴对称，D表示D中y≥0的部分， (i)若f,)是y的奇函数，即fx,-)=-fx,y),则厂fx,Mo=0: (i)若fx)是y的偶函数，即fx,-)=fx,),则∬fx,yHo=2∬fx,HG。 证：由积分域D关于x轴对称，D表示D中 1y=0X y20的部分，则积分与如图8-1所示。则 D ∬/xo=广a/x 若f(x,-y)=-f(x,y),则 y=-φ(x) 图8-1 ∬fx,ig-dfx-心0d=0 若f(x,-y)=f(x,y),则 .-2d.d.. 3.设1=∬x+yo,其中D是矩形闭区域：-1≤x≤1与ys:又 L2=川(x2+y)o,其中D,是矩形闭区域：0≤x≤1,0≤y≤2.试用二重积分的 对称性质表示I与12之间的关系. 解：=∬+Pydo=4∬+)do=4 4.设D是由x+y=1,x-y=1及x=0所围成的三角 x-)y=1 x+)少=1x 图8-2

1 第八章 重积分习题全解 习题 8－1 1． 利用二重积分定义证明： （1） d D    （ 其中  是 D 的面积）； （2） ( , )d ( , )d D D kf x y k f x y      （ k 为常数）； 2．证明性质 8 中（1）设积分域 D 关于 x 轴对称, D1 表示 D 中 y  0 的部分, （i)若 f x y ( , ) 是 y 的奇函数,即 f x y f x y ( , ) ( , ),    则 ( , ) 0 D f x y d   ； （ii)若 f x y ( , ) 是 y 的偶函数,即 f x y f x y ( , ) ( , ),   则 1 ( , )d 2 ( , )d D D f x y f x y      。 证：由积分域 D 关于 x 轴对称, D1 表示 D 中 y  0 的部分,则积分与如图 8-1 所示。则 ( ) ( ) ( , )d d ( , )d b x a x D f x y x f x y y        若 f x y f x y ( , ) ( , ),    则 ( ) ( ) ( , )d d ( , )d 0d 0 b x b a x a D f x y x f x y y x            若 f x y f x y ( , ) ( , ),   则 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( , )d d ( , )d 2 d ( , )d 2 ( , )d b x b x a x a D D f x y x f x y y x f x y y f x y                。 3 ． 设 1 2 2 3 1 ( ) D I x y d     ，其中 D1 是矩形闭区域：       1 1, 2 2 x y ； 又 2 2 2 3 2 ( ) D I x y d     ，其中 D2 是矩形闭区域： 0 1,0 2     x y ．试用二重积分的 对称性质表示 1 I 与 2 I 之间的关系． 解： 1 2 2 2 3 2 2 3 1 2 ( ) 4 ( ) 4 D D I x y d x y d I          4．设 D 是由 x y x y     1, 1 及 x  0 所围成的三角 D D1 y x  ( ) y x  ( ) a b x y O 图 8-1 图 8-2

形，根据二重积分的对称性计算二重积分川do D 解：画出积分区域D的草图8-2，可见D对称于x轴，而 被积函数f(x,y)=y对y是奇函数，因此「do=0。 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) ∬x+y)Pdo与J(x+y户do,其中积分区域D是由x轴，y轴与直线 x+y=1所围成： (2)∬ln(x+ydo与厂n(x+ydo,其中D是三角形闭区域，三顶点分别为L,0>, (1,1),(2,0). 解(1)画出积分区域D,D={(x,y)k>0,y>0,x+y≤1}，如图8-3 由于(x+y)2-(x+y)3=(x+y)2(1-x-y),所以，在D上 (x+y)2(1-x-y),即(x+y)2≥(x+y)月 x+y=1 由积分估值定理得：小x+少do≥∬x+)dc 解(2)小in(x+do≥∬nx+do· 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值： 图8-3 (1)1=∬V(x+ydo， 其中D是矩形闭区域： 0≤x≤2,0≤y≤2， (2)1=∬sin2xsin2do,其中D是矩形闭区域：0≤x≤元，0≤y≤元. (3)1=小x+4y2+9)do,其中D是圆形闭区域：x2+≤4. 解(1)在D上f(xy)=√y(x+y),则fmn(x,y)=0,mx(x,y)=4,又D的面积 o=2×2=4,故由估值不等式得：0.0≤I≤44，即0≤1≤16。 解(2)因为0≤sin2x≤1,0≤sin2y≤1，所以0≤1≤π2。 解(3)在D上f(x,y)=x2+4y2+9 2

2 形，根据二重积分的对称性计算二重积分 d . D y   解：画出积分区域 D 的草图 8-2，可见 D 对称于 x 轴，而 被积函数 f x y y ( , )  对 y 是奇函数，因此 d 0 D y    。 5．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1） 2 ( ) D x y d    与 3 ( ) D x y d    ，其中积分区域 D 是由 x 轴， y 轴与直线 x y  1 所围成； （2） ln( ) D x y d    与 2 [ln( )] D x y d    ，其中 D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1，0）， （1，1），（2，0）． 解（1）画出积分区域 D ， D x y x y x y      ( , ) 0, 0, 1 ，如图 8-3 由于 2 3 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) x y x y x y x y        ，所以，在 D 上 2 ( ) (1 ) x y x y    ，即 2 3 ( ) ( ) x y x y    由积分估值定理得： 2 3 ( ) ( ) D D x y d x y d        解（2） 2 ln( ) [ln( )] D D x y d x y d        。 6． 利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1） ( ) D I xy x y d     ， 其中 D 是矩形闭区域： 0 2,0 2     x y ． （2） 2 2 sin sin d D I x y    ，其中 D 是矩形闭区域： 0 ,0     x y   ． （3） 2 2 ( 4 9) D I x y d      ，其中 D 是圆形闭区域： 2 2 x y   4 ． 解（1）在 D 上 f x y xy x y ( , ) ( )   ，则 min max f x y f x y ( , ) 0, ( , ) 4   ， 又 D 的面积     2 2 4 ，故由估值不等式得： 0 0 4 4     I ，即 0 16  I 。 解（2）因为 2 2 0 sin 1,0 sin 1     x y ，所以 2 0  I  。 解（3）在 D 上 2 2 f x y x y ( , ) 4 9    图 8-3

f(x,y)=x2+4y2+9=x2+y2+3y2+9≤3y2+13≤3.22+13=25 即fmx(x,y)=25,fn(x,y)=9,又D的面积o=πr2=π·2=4π，故由估值不等式得： 9.4π≤I≤16.4π，即36π≤1≤100π 习题8-2 1.化二重积分I=儿fx,ydo为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二 次积分)，其中积分区域D是： (1)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0)所围成的闭区域： (2)由直线y=x,x=2及双曲线y=上（x>0)围成的闭区域。 解W1Tf海或1=层f油 解(2)X-型区域（图8-4）： Y-型区域：划分成两部分（图8-5）： y=- x=2 x=2 图8-4 图8-5 因此1=fx,n,因此1=oir.+fx,达 2.计算下列二重积分： (1)∬(3x+2y)dc,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域： (2)sin yda,其中D是矩形区域：0≤x≤2,0≤y≤ (3)」 xcos(x+yo,其中D是顶点分别为(0,0，(g,) 的三角形闭区域。 解(1)积分区域D(图8-6)如下： 3x+2a-46+2h-9 (2)sin yda sin 解(3)∬xcos(x+ydo=dr。cos(x+y x+y=2

3 2 2 2 2 2 2 2 f x y x y x y y y ( , ) 4 9 3 9 3 13 3 2 13 25              即 max min f x y f x y ( , ) 25, ( , ) 9   ，又 D 的面积 2 2         r 2 4 ，故由估值不等式得： 9 4 16 4       I ，即 36 100    I 习 题 8－2 1．化二重积分 ( , ) D I f x y d    为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二 次积分），其中积分区域 D 是： （1）由 x 轴及半圆周 2 2 2 x y r y    ( 0) 所围成的闭区域； （2）由直线 y x x   , 2 及双曲线 1 y x( 0) x   围成的闭区域。 解（1） 2 2 0 d ( , )d r r x r I x f x y y      或 2 2 2 2 0 d ( , )d r r x r x I y f x y x       解（2）X-型区域（图 8-4）： Y-型区域：划分成两部分（图 8-5）： 图 8-4 图 8-5 因此 2 1 1 ( , ) x x I dx f x y dy    ， 因此 1 2 2 2 1 1 1 2 ( , ) ( , ) y y I dy f x y dx dy f x y dx       2．计算下列二重积分： （1） (3 2 ) D x y d    ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x y   2 所围成的闭区域； （2） 2 sin d D x y   ，其中 D 是矩形区域： 0 2,0 2 x y      ； （3） cos( )d D x x y    ，其中 D 是顶点分别为（0，0）， ( ,0),( , )   的三角形闭区域。 解（1）积分区域 D（图 8-6）如下： 2 2 0 0 20 (3 2 ) (3 2 ) 3 x D x y d dx x y dy          解（2） 2 /2 2 / 2 2 2 3 0 0 0 0 1 8 sin d d sin d ( cos ) 3 3 D x y x x y y x y           解（3） 0 0 cos( )d d cos( )d x D x x y x x x y y         图 8-6

x(sin2x-sin.x)dx=fxsin 2xdx-fxsin.xdx -dcos2x+axdcosx xo2+0coo +n2--m= (④川do,其中D是由y=x广=x所围成闭区域。 解(4)积分区域D(图8-7)如下： 4a-=1-sl y=x 3.画出积分区域，并计算下列二重积分： (1)小a,其中D是由两条抛物线 y=√了芋2所围成的闭区域： (2)小edo,其中D是由+≤1所确定的闭区 图8-7 域： 解：a-ad-yd --r-品-八-品号 x-y=1 解(2)x+y≤1可化为 x+y=1 则积分区域D -x-y=1 -x+y=1 (图8-8)如下： e"wdo=jead+∬e*rhd -x+y水x+y=1 D =kee'+eed=e-e。 -x-y=米x-y=1 图8-8 4

4 0 0 0 x x x x x x x x x x (sin 2 sin )d sin 2 d sin d           0 0 1 dcos2 dcos 2 x x x x        0 0 0 0 1 1 cos 2 cos2 d cos cos d 2 2 x x x x x x x x            0 0 1 1 3 sin 2 sin 2 4 2 x x             （4） sin D y d y   ，其中 D 是由 2 y x y x   , 所围成闭区域． 解（4）积分区域 D（图 8-7）如下： 2 1 0 sin sin 1 sin1 y y D y y d dy dx y y        3．画出积分区域，并计算下列二重积分： （ 1 ） d D x y   , 其 中 D 是由两条抛物线 2 y x y x   , 所围成的闭区域； （2） x y D e d   ，其中 D 是由 x y  1 所确定的闭区 域； 解: 2 2 1 1 3/ 2 0 0 2 d d 3 d d D x x x x x y y   x x y  x y x     1 1 3/ 4 3 11/ 4 5 0 0 2 2 4 1 2 4 1 6 ( )d 3 3 11 5 3 11 5 55 x x x x x x                     解（2） x y  1 可化为 1 1 1 1 x y x y x y x y                 则积分区域 D （图 8-8）如下： 1 2 x y x y x y D D D e d e dxdy e dxdy          0 1 1 1 1 1 1 0 1 x x x y x y x x dx e e dy dx e e dy e e                 。 图 8-7 图 8-8

4.如果二重积分川f(x,y)dkd山的被积函数fx,)是两个函数f(x)及)的乘积， 即f(x,y)=f(x)(y),积分区域D为a≤x≤b,c≤y≤d,证明这个二重积分等于两 个单积分的乘积，即 ∬f)odd=可2fxd]f50 证：∬fxy)do=∬fx)小f(xd =广5(ew-[[Cw 5.设f(x,y)在D上连续，其中D是由直线y=x,y=a,x=bb>0)所围成的闭区域， 证明,yy=∫dfx,yar 证：积分区域D(图8-9)如下：改变积分次序，由X-型 y= 区域化为Y-型区域有 ∫,y=d"f.yd. 6.改换下列二次积分的积分次序： 图8-9 j时fx,y: 2)jdfx,yr: 8 d(.y:④jf。0fcx. 解(1)由题可知：D={x,y0≤y≤1VF≤x≤ y↑x=,y=x 积分区域（图8-10）如下：积分区域也是X-型区域，D也 可记为D={x,0≤x≤Lx≤y≤x,因此改变积分 次序得： [dv(x.dx(. 图8-10 解2d时xir=d5fx,灿 解adf炒=哥fx Inx 图8-11

5 4．如果二重积分 ( , ) D f x y dxdy  的被积函数 f x y ( , ) 是两个函数 1 f x( ) 及 2 f y( ) 的乘积， 即 1 2 f x y f x f y ( , ) ( ) ( )   ，积分区域 D 为 a x b c y d     , ，证明这个二重积分等于两 个单积分的乘积，即 1 2 1 2 ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]. b d a c D f x f y dxdy f x dx f y dy       证： 1 2 ( , ) ( ) ( ) D D f x y d f x f x dxdy     1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b d b d a c a c dx f x f x dy f x dx f x dy                     5．设 f x y ( , ) 在 D 上连续，其中 D 是由直线 y x y a x b b     , , ( 0) 所围成的闭区域， 证明 d ( , )d d ( , )d . b x b b a a a y x f x y y y f x y x      证：积分区域 D（图 8-9）如下：改变积分次序，由 X-型 区域化为 Y-型区域有 d ( , )d d ( , )d . b x b b a a a y x f x y y y f x y x      6.改换下列二次积分的积分次序： （1） 1 0 ( , ) y y dy f x y dx   ； （2） 2 2 2 0 d ( , )d y y y f x y x   ； （3） 2 2 0 0 1 ( 1) d ( , )d x x f x y y     ； （4） ln 1 0 ( , ) e x dx f x y dy   。 解（1）由题可知： D x y y y x y      ( , ) 0 1,  ， 积分区域（图 8-10）如下：积分区域也是 X-型区域， D 也 可记为   2 D x y x x y x      ( , ) 0 1, ，因此改变积分 次序得： 2 1 1 0 0 d ( , )d d ( , )d y x y x y f x y x x f x y x      解（2） 2 2 2 4 0 0 / 2 d ( , )d d ( , )d y x y x y f x y x x f x y y      解（3） 2 2 2 2 0 0 1 ( 1) 0 1 1 1 1 1 d ( , d) d d ( , ) x y y x f x y y y f x y x              图 8-9 图 8-10 图 8-11