银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第二章 导数与微分

银川能源学院《高签数学》救朱 第二童导数与微分 章节名称： 第二章 导数与微分 教学内容与学时分配： 1、导数的概念(1学时)；2、导数的四则运算法则(1学时)；3、复合函数的求导法则(1 学时)；4、高阶导数(1学时)；5、隐函数的导数(2学时)；6函数的微分(2学时)。共计 (8学时)。 教学目的和要求： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法 线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的 关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公 式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系： 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则： 3、基本初等函数的导数公式： 4、高阶导数： 5、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 难点： 1、复合函数的求导法则： 2、分段函数的导数： 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入： 2、概念、性质的证明： 3、例题分析： 4、小结。 教学手段： 探究式教学，讲练结合。 作业： 课后部分习题 第1页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 1 页 章节名称： 第二章 导数与微分 教学内容与学时分配： 1、导数的概念（1 学时）；2、导数的四则运算法则（1 学时）；3、复合函数的求导法则（1 学时）；4、高阶导数（1 学时）；5、隐函数的导数（2 学时）；6 函数的微分（2 学时）。共计 （8 学时）。 教学目的和要求： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法 线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的 关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公 式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 5、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入； 2、概念、性质的证明； 3、例题分析； 4、小结。 教学手段： 探究式教学，讲练结合。 作业： 课后部分习题

银川能源学院《高签数学》救案 第二童导数与微分 第一节导数的概念 一、引例 1.直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动，时刻1质点的坐标为s,s是1的函数： s=At), 求动点在时刻o的速度 考虑比值 S-=f)-f) 1-to 1-10 这个比值可认为是动点在时间间隔-内的平均速度.如果时间间隔选较短，这 个比值在实践中也可用来说明动点在时刻的速度.但这样做是不精确的，更确 地应当这样：令1-0→0，取比值@-园的极限，如果这个极限存在，设为v, 1-to 即 v=lim I(t)-f(o) t地t-o 这时就把这个极限值v称为动点在时刻1o的速度， 2.切线问题 设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N,作割线MN.当点 N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线M T就称为曲线C有点M处的切线 设曲线C就是函数=x)的图形.现在要确定曲线在点M(xo,%)Oo=xo) 处的切线，只要定出切线的斜率就行了.为此，在点M外另取C上一点Nx,y), 于是割线MN的斜率为 tanp=y-九=fw)-f) x-X0 x-X0 其中p为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时，x→o.如果当x→o时， 上式的极限存在，设为k,即 k=lim f(x)-f(xo) x→0X-X0 存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.这里k=tana%,其中a 是切线MT的倾角.于是，通过点Mxo,x》且以k为斜率的直线MT便是曲线 C在点M处的切线. 二、导数的概念 1.函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归 结为如下的极限： lim f(x)-f(xo) x→0X-0 令△r=x-xo,则△y=fxo+△x)-fxo)=x)-jxo,x→xo相当于△x→0，于是 第2页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 2 页 第一节 导数的概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 sf(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 0 0 0 0 ( ) ( ) t t f t f t t t s s       这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0 内的平均速度 如果时间间隔选较短 这 个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度 但这样做是不精确的 更确 地应当这样 令 t t00 取比值 0 0 ( ) ( ) t t f t f t   的极限 如果这个极限存在 设为 v  即 0 0 ( ) ( ) lim 0 t t f t f t v t t      这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2．切线问题 设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT 直线Ｍ Ｔ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)) 处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 0 0 0 0 ( ) ( ) tan x x f x f x x x y y         其中为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0 时 上式的极限存在 设为 k  即 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x     存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan  其中 是切线 MT 的倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0))且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的概念 1 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归 结为如下的极限 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x     令xxx0 则yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0) xx0 相当于x 0 于是

银川能源学院《高签激学》救案 第二童导数与微分 lim f()-f() x+0 x-X0 成为 mA义或imfo+A-/ Ar0△X Ar0 △x 定义1设函数=x)在点0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得 增量△x(点xo+△x仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量△xo+△x)一xo方；如 果△y与△x之比当△x→0时的极限存在，则称函数=x)在点xo处可导，并称这个 极限为函数=x)在点处的导数，记为y儿，即 (o)=lim Av=im f(x+△x)-fxo) 「Ax-0△xA0 △x 也可记为yL,或r倒L dx x=xo dx x=xo 函数x)在点xo处可导有时也说成x)在点o具有导数或导数存在， 导数的定义式也可取不同的形式，常见的有 f(xo)=lim o+h)-f(o r->0 h f(x)=lim f()-f() x-→x0X-X0 在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学 上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果极限m+△-不存在，就说函数x)在点和处不可导. Ar->0 △x 如果不可导的原因是由于m6+-/-0, 也往往说函数y=x)在点xo处的导数为无穷大 如果函数=孔x)在开区间1内的每点处都可导，就称函数x)在开区间I内可 导，这时，对于任一x∈L,都对应着x)的一个确定的导数值.这样就构成了一 个新的函数，这个函数叫做原米函数))的导函数，记作y,,密，或 df(x dx 导函数的定义式 y=mf+A-f@=imfx+f国 △0 0 h f'(xo)与f"(x)之间的关系： 函数x)在点xo处的导数f'(x)就是导函数f'(x)在点=xo处的函数值，即 f'o)=f(xk=· 导函数f'(x)简称导数，而f'(xo)是x)在xo处的导数或导数f'(x)在xo处的值 左右导数：所列极限存在，则定义 第3页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 3 页 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x    成为 x y x    0 lim 或 x f x x f x x      ( ) ( ) lim 0 0 0  定义 1 设函数 yf(x)在点 x0 的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0 处取得 增量x(点 x0x 仍在该邻域内)时 相应地函数 y 取得增量yf(x0x)f(x0) 如 果y 与x 之比当x0 时的极限存在 则称函数 yf(x)在点 x0处可导 并称这个 极限为函数 yf(x)在点 x0 处的导数 记为 0 | x x y    即 x f x x f x x y f x x x             ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0  也可记为 0 | x x y    0 dx x x dy  或 0 ( ) dx x x df x   函数 f(x)在点 x0 处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0       0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x       在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学 上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限 x f x x f x x      ( ) ( ) lim 0 0 0 不存在 就说函数 yf(x)在点 x0 处不可导 如果不可导的原因是由于       x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0  也往往说函数 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 f(x)在开区间 I 内可 导 这时 对于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一 个新的函数 这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数 记作 y   f (x)  dx dy  或 dx df (x)  导函数的定义式 x f x x f x y x        ( ) ( ) lim 0  h f x h f x h ( ) ( ) lim 0     f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0 处的函数值 即 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x      导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0处的导数或导数 f (x)在 x0处的值 左右导数 所列极限存在 则定义

银川能源学院《高签激学》救朱 第二童导数与微分 x)在x的左导数：f(x)=m f+)-f; -0 h 在x,的右导数：)上m+). h 如果极限m+)-存在，则称此极限值为函数在o的左导数 h 如果极限m,+存在，则称此极限值为函数在和的右导数. h-+0 h 导数与左右导数的关系：f'(x)=A一f(x)=f(x)=A 2.求导数举例 例1.求函数x)=C(C为常数)的导数. 解：f=m+f因=mC-C=0. 0 h 即(C)'=0. 例2.求函数x)=x”(n为正整数)在x=a处的导数. 解：fa=lmff@=lm”-a=lim-l+ax-2+…+arl上ar x-a x-a x>a x-a T-0 把以上结果中的a换成x得∫'x=r,即"'=rx 0y=0,=京，y=2wy=w 更一般地，有x'=1,其中为常数 例3.求函数fx)=sinx的导数. 解：f"x)=mfx+h)-fy=im sin(+)-simx h-0 h h h lim 1.2cos(x+)sin =lim cos(x+ h30 2 -=Cosx. h 即(sinx)'=cosx 用类似的方法，可求得(cosx)'=-sinx. 例4.求函数fx)-logax(a>0,a≠1)的导数. 解：f=网在+国=ng,+h-g三 h h -g.生=g.+9=bg+ x'xh0 =Llogae= 1 xlna 解：/=lmex+h-log上=lmog+ h→0 1 第4页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 4 页 f(x)在 0 x 的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0         f(x)在 0 x 的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0         如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0    存在则称此极限值为函数在 x0的左导数 如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0    存在则称此极限值为函数在 x0的右导数 导数与左右导数的关系 f (x0 ) A  f (x0 ) f (x0 ) A  2．求导数举例 例 1．求函数 f(x)C（C 为常数）的导数 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      lim 0 0     h C C h  即(C ) 0 例 2．求函数 f(x)x n (n 为正整数)在 xa 处的导数 解 f (a) x a f x f a x a     ( ) ( ) lim x a x n an x a     lim xa lim (x n1 ax n2   a n1 )na n1  把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1  即 (x n )nx n1  (C)0 2 1 ) 1 ( x x    x x 2 1 ( )   1 ( )        x x  更一般地 有(x  )x 1  其中为常数 例 3．求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0     h x h x h sin( ) sin lim 0      2 )sin 2 2 cos( 1 lim 0 h h x h h      x h h h x h cos 2 2 sin ) 2 lim cos( 0       即 (sin x)cos x  用类似的方法 可求得 (cos x )sin x  例 4．求函数 f(x)log a x (a>0 a 1) 的导数 解 h x h x h f x h f x f x a a h h log ( ) log lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0           h x a h a h a h x h x x h h x x x x h h lim log (1 ) 1 lim log (1 ) 1 log ( ) 1 lim 0 0 0          x a e x a ln 1 log 1    解 h x h x f x a a h log ( ) log ( ) lim 0      log (1 ) 1 lim 0 x h h a h   

银川能源学院《高签激学》救案 第二童导数与微分 imog.(ogina xh0 即 (logaxy=-1.: xIna 特殊地 (Inx)=I (o( 例5.求函数fx)=a(a>0,a≠1)的导数. 解：f'6)=im+f国=lm-a h0 h rlm d1 a h>0 h =ax 1=axIna. logae 特别地有(ex)=ex. 例6.求fx)=上的导数. 11 解：∫(x)=lim fx+h)-f因=mx+h工=lim7 -h =-lm。1 s、1 hoh(x+h)x (x+h)x x2 例7.求fx)=F的导数， 解： f=m+f四-m+h-区 h-0 h h0 h +h++h+左2左 =lim h 1 1 三、左导数和右导数 定义2：x)在处的左导数：)=m+国 h0- h 在五处的右导数上巴+国 h 极限m+因存在的充分必要条件是m+f因及 h→0 h →0 h lim fc+)-f田都存在且相等. h-0+ h 导数与左右导数的关系： 函数x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f”(o)和右导数f”x0 第5页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 5 页 h x a h x h x lim log (1 ) 1 0    x a e x a ln 1 log 1    即 x a xa ln 1 (log )    特殊地 x x 1 (ln )   x a xa ln 1 (log )   x x 1 (ln )   例 5．求函数 f(x)a x (a>0 a 1) 的导数 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0     h ax h ax h    0 lim h a a h h x 1 lim 0    a t 令 h1 log (1 ) lim 0 t t a a t x   a a e a x a x ln log 1    特别地有(e x )e x  例 6 求 x f x 1 ( ) 的导数 解 h x h x h f x h f x f x h h 1 1 lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0          2 0 0 1 ( ) 1 lim ( ) lim h x h x x h x x h h h          例 7 求 f (x) x 的导数 解 h x h x h f x h f x f x h h        0 0 lim ( ) ( ) ( ) lim h x h x x h x x h h h 2 1 1 lim ( ) lim 0 0           三、左导数和右导数 定义 2： f(x)在 0 x 处的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0         f(x)在 0 x 处的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0         极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0    存在的充分必要条件是 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0     及 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0     都存在且相等 导数与左右导数的关系 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)