《高等数学》实验班理论课程教学大纲 【课程编号】 【学时学分】128学时； 【开课模式】必修 【实验学时】38-48 【上机学时】38-48 【课程类型】公共基础课 【考核方式】考试 【开课单位】化工学院 【授课对象】本科化工工艺、过控专业 一、本课程的性质、目的与任务 高等数学在应用型本科院校的教学计划中是一门重要的公共基础课，是各专业学 生一门必修的课程，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服 务的.通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分及常微分方程的基本知识、必要的 基础理论和常用的运算方法，并注意培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、 逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生学到数学分析法和运用这些方 法解决实际问题的初步训练，为学习后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学 基础。教学中要认真探讨和贯彻“以应用为目的，为专业服务”的教学原则。教学重 点要放在“掌握概念，强化应用，培养技能”上。执行大纲时，要注意以下几点： 1、适当注意数学自身的系统性和逻辑性，课程内容应具有较大的覆盖面，不同专业 在保证必修内容的基础上，可以根据需要有所侧重和选择。 2、对难度较大的部分基础理论，不追求严格的论证和推导，只作简单说明。 3、对与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能应重点加强。 4、注重基本运算的训练，不追求过分复杂的计算和变换。 二、本课程的基本要求、教学内容和学时分配 1函数、极限、连续（16学时) 基本要求 1.理解函数的概念。 2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 1
1 《高等数学》实验班理论课程教学大纲 【课程编号】 【学时学分】 128 学时； 【开课模式】必修 【实验学时】 38-48 【上机学时】38-48 【课程类型】 公共基础课 【考核方式】考试 【开课单位】化工学院 【授课对象】 本科化工工艺、过控专业 一、本课程的性质、目的与任务 高等数学在应用型本科院校的教学计划中是一门重要的公共基础课,是各专业学 生一门必修的课程,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服 务的.通过本课程的学习,使学生系统地获得微积分及常微分方程的基本知识、必要的 基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力﹑抽象思维能力﹑ 逻辑推理能力﹑几何直观和空间想象能力，从而使学生学到数学分析法和运用这些方 法解决实际问题的初步训练,为学习后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学 基础。教学中要认真探讨和贯彻“以应用为目的，为专业服务”的教学原则。教学重 点要放在“掌握概念，强化应用，培养技能”上。执行大纲时，要注意以下几点： 1、适当注意数学自身的系统性和逻辑性，课程内容应具有较大的覆盖面，不同专业 在保证必修内容的基础上，可以根据需要有所侧重和选择。 2、对难度较大的部分基础理论，不追求严格的论证和推导，只作简单说明。 3、对与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能应重点加强。 4、注重基本运算的训练，不追求过分复杂的计算和变换。 二、本课程的基本要求、教学内容和学时分配 1 函数﹑极限﹑连续（16 学时） 基本要求 1.理解函数的概念。 2.了解函数的奇偶性﹑单调性﹑周期性和有界性。 3.理解复合函数的概念,了解反函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形
5.会建立简单实际问题中的函数关系式。 6.理解极限的概念（对极限的ε-N、￡-δ定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给 出e求N或ō不作过高要求)。 7.掌握极限四则运算法则。 8.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极。 9.了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小代替的方法求极限。 10.理解函数在一点连续的概念。 11.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 12.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定 理)。 课时分配（16学时) 函数：集合，函数概念，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数。(2) 极限：数列的极限，函数的极限，自变量趋向有限值时函数的极限，自变量趋向无穷 大时函数的极限。(4)无穷小，无穷大。极限运算法则，极限存在法则，两个重要 极限，无穷小的比较。(2) 实验课：(2) 函数的连续性：函数的连续性。函数的间断点。(2)，连续函数的和、差、积、商 的连续性。反函数与复合函数的连续性。(2)初等函数的连续性，闭区间上连续函 数的最大值、最小值定理及介值定理。(2) 2一元函数微分学（28学时) 基本要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关 系。 2.会用导数描述一些物理量。 3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导 数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性 4.了解高阶导数的概念。 5.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 7.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。 8.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 2
2 5.会建立简单实际问题中的函数关系式。 6.理解极限的概念(对极限的ε -N﹑ε -δ 定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给 出ε 求 N 或δ 不作过高要求)。 7.掌握极限四则运算法则。 8.了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极。 9.了解无穷小﹑无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小代替的方法求极限。 10.理解函数在一点连续的概念。 11.了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。 12.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大最小值定 理)。 课时分配（16 学时） 函数：集合，函数概念，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数。（2） 极限：数列的极限，函数的极限，自变量趋向有限值时函数的极限，自变量趋向无穷 大时函数的极限。（4）无穷小，无穷大。极限运算法则，极限存在法则，两个重要 极限，无穷小的比较。（2） 实验课：（2） 函数的连续性：函数的连续性。函数的间断点。（2），连续函数的和、差、积、商 的连续性。反函数与复合函数的连续性。（2）初等函数的连续性，闭区间上连续函 数的最大值、最小值定理及介值定理。（2） 2 一元函数微分学（28 学时） 基本要求 1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关 系。 2.会用导数描述一些物理量。 3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数﹑双曲函数的导 数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性. 4.了解高阶导数的概念。 5.掌握初等函数一阶﹑二阶导数的求法。 6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶﹑二阶导数。会求反函数的导数。 7.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。 8.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理
9.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。 10.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形（包括水平和铅直渐 近线)。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 1l.会用洛必达(L’Hospital)法则求未不定式的极限。 12.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 13.了解求方程近似解的二分法和切线法。 课时分配(28学时) 导数概念：导数定义。求导举例，导数的几何意义(2) 函数的可导性与连续性之间的关系。(2) 函数求导：函数的和、积、商的求导法则。指数函数和对数函数的导数，复合函数的 求导法则(2)。反函数的导数，高阶导数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函 数的导数。(2) 函数的微分：微分的定义，微分的几何意义。基本初等函数的微分公式及运算法则。 (2) 中值定理与导数的应用：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。(2)罗必 塔法则(2)，泰勒中值定理。函数和曲线性态的研究。函数图形的描绘。(4)最大 值最小值问题。(2)曲率、弧微分，曲率及其计算公式，曲率圆与曲率半径。(2) 实验课：(6) 3一元函数积分学（22学时) 基本要求 1.理解不定积分和定积分的概念及性质。 2.掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法和分部积分法。 3.会求简单的有理函数的积分。 4.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹 (Leibniz)公式。 5.了解广义积分的概念。 6.了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法则）。 7.掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方 法。 课时分配（14+18=22课时) 3
3 9.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。 10.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描述函数的图形(包括水平和铅直渐 近线)。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 11.会用洛必达(L’Hospital)法则求未不定式的极限。 12.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 13.了解求方程近似解的二分法和切线法。 课时分配（28 学时） 导数概念：导数定义。求导举例，导数的几何意义（2） 函数的可导性与连续性之间的关系。（2） 函数求导：函数的和、积、商的求导法则。指数函数和对数函数的导数，复合函数的 求导法则（2）。反函数的导数，高阶导数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函 数的导数。（2） 函数的微分：微分的定义，微分的几何意义。基本初等函数的微分公式及运算法则。 （2） 中值定理与导数的应用：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。（2）罗必 塔法则（2），泰勒中值定理。函数和曲线性态的研究。函数图形的描绘。（4）最大 值最小值问题。（2）曲率、弧微分，曲率及其计算公式，曲率圆与曲率半径。（2） 实验课：（6） 3 一元函数积分学（22 学时） 基本要求 1.理解不定积分和定积分的概念及性质。 2.掌握不定积分的基本公式,不定积分﹑定积分的换元法和分部积分法。 3.会求简单的有理函数的积分。 4.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理,掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹 (Leibniz)公式。 5.了解广义积分的概念。 6.了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法则)。 7.掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积﹑体积﹑弧长﹑功﹑引力等)的方 法。 课时分配（14+18=22 课时）
不定积分的概念与性质：原函数与不定积分的概念，基本积分表，不定积分的性质。 (2) 换元积分法：第一类换元积分法，第二类换元积分法。(4) 分部积分法。(2) 几种特殊类型函数的积分：有理函数积分，三角函数有理式积分，简单无理函数积分 举例。(2) 积分表的使用。 定积分的概念：定积分问题举例，定积分定义。(2) 定积分的性质，微积分基本公式。定积分的换元法，定积分的分部积分法。(4) 实验课：(8) 定积分的近似计算：矩形法，梯形法，抛物线法。(2) 定积分的应用：定积分的元素法，平面图形的面积，直角坐标情形、极坐标情形，体 积，旋转体体积，平行截面面积为己知的立体的体积，平面曲线的弧长，直角坐标情 形，参数方程的情形，极坐标方程的情形。(4) 定积分在物理学中的应用：变力沿直线所作的功，水压力，引力，力矩和重心(2) 5多元函数微分学（14学时) 基本要求 1.理解多元函数的概念。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。 3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 5.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 6.会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。 7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。 8.理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解条件极值的拉格 朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 课时分配（10+414学时) 多元函数的基本概念：多元函数概念，区域，多元函数的极限，多元函数的连续性 (2)。 偏导数：偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数。(4) 全微分，多元复合函数的求导法则(2)。隐函数的求导公式(2)
4 不定积分的概念与性质：原函数与不定积分的概念，基本积分表，不定积分的性质。 （2） 换元积分法：第一类换元积分法，第二类换元积分法。（4） 分部积分法。（2） 几种特殊类型函数的积分：有理函数积分，三角函数有理式积分，简单无理函数积分 举例。（2） 积分表的使用。 定积分的概念：定积分问题举例，定积分定义。（2） 定积分的性质，微积分基本公式。定积分的换元法，定积分的分部积分法。（4） 实验课：（8） 定积分的近似计算：矩形法，梯形法，抛物线法。（2） 定积分的应用：定积分的元素法，平面图形的面积，直角坐标情形、极坐标情形，体 积，旋转体体积，平行截面面积为已知的立体的体积，平面曲线的弧长，直角坐标情 形，参数方程的情形，极坐标方程的情形。（4） 定积分在物理学中的应用：变力沿直线所作的功，水压力，引力，力矩和重心（2） 5 多元函数微分学（14 学时） 基本要求 1.理解多元函数的概念。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质。 3.理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 5.掌握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数。 6.会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线,并会求出它们的方程。 8.理解多元函数极值和条件极值的概念,会求二元函数的极值。了解条件极值的拉格 朗日乘数法,会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 课时分配（10+4=14 学时） 多元函数的基本概念：多元函数概念，区域，多元函数的极限，多元函数的连续性 （2）。 偏导数：偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数。（4） 全微分，多元复合函数的求导法则（2）。隐函数的求导公式（2）
实验课：(4) 多元函数微分法的几何应用举例：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线 (2)。 多元函数的极值。(2) 6多元函数积分学(20学时) 基本要求 1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角坐标 、柱面坐标、球面坐标)。 课时分配(14+6=20学时) 二重积分的概念与性质：曲顶柱体的体积与二重积分，二重积分的性质。(2) 二重积分的计算法：利用直角坐标计算二重积分，利用极坐标计算二重积分。(4) 曲线积分与曲面积分。(8) 实验课：(6) 二重积分的应用：曲面的面积，平面薄片的重心，平面薄片的转动惯量。(2) 三重积分：三重积分的概念，三重积分的计算法，重积分的应用。(2) 7无穷级数(14学时) 基本要求 1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条 件。 ☒ 2.掌握几何级数和P一级数的收敛性。 3.了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4.了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。 5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念 7.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10.会利用e,sinx,cosx,1n(1+x)和(1+x) 的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。 11.了解幂级数在近似计算上的简单应用 5
5 实验课：（4） 多元函数微分法的几何应用举例：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线 （2）。 多元函数的极值。（2） 6 多元函数积分学（20 学时） 基本要求 1.理解二重积分﹑三重积分的概念,了解重积分的性质。 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标﹑极坐标),了解三重积分的计算方法(直角坐标 ﹑柱面坐标﹑球面坐标)。 课时分配（14+6=20 学时） 二重积分的概念与性质：曲顶柱体的体积与二重积分，二重积分的性质。（2） 二重积分的计算法：利用直角坐标计算二重积分，利用极坐标计算二重积分。（4） 曲线积分与曲面积分。（8） 实验课：（6） 二重积分的应用：曲面的面积，平面薄片的重心，平面薄片的转动惯量。（2） 三重积分：三重积分的概念，三重积分的计算法，重积分的应用。（2） 7 无穷级数（14 学时） 基本要求 1.理解无穷级数收敛﹑发散以及和的概念,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条 件。 2.掌握几何级数和 P—级数的收敛性。 3.了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。 4.了解交错级数的莱布尼兹定理,会估计交错级数的截断误差。 5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。 8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10.会利用 x e ,sinx,cosx,ln(1+x)和 (1+x) 的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。 11.了解幂级数在近似计算上的简单应用