银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第八章多元函数微分法及其应用.pdf

银川科技职业学院《高等数学》教寒第八章多元函数徽分学及其应用 S8.1多元函数的基本概念一、平面点集n维空间 1.平面点集由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点 P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是，我们常把有序实数组 (x,)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。二元的序实数组(x,y)的全体，即R=R×R={化，水，yER}就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E={(x,y川(x,)具有性质P. 例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C={x,y川x2+y2<2 如果我们以点P表示(x,),以OP表示点P到原点O的距离，那么集合C可表成 C=(PlOPr). 邻域：设Po(0,o)是xOy平面上的一个点，6是某一正数.与点P(x0,0)距离小于 6的点P(x,)的全体，称为点Po的6邻域，记为U(P,),即 U(P.6)=(PlIPRKU(P.8)={(x,y)(x-x)2+(y-yo)2<8). 邻域的几何意义：U(Po,可表示xOy平面上以点P(xo,o)为中心、6>0为半径的圆的内部的点P(x,)的全体，点Po的去心6邻域，记作U(P,),即 U(B,)={P10BPk}. 注：如果不需要强调邻域的半径6则用U(Po)表示点P的某个邻域，点 Po的去心邻域记作U(C) 点与点集之间的关系：任意一点PR2与任意一个点集EcR2之间必有以下三种关系中的一种： )内点：如果存在点P的某一邻域UP),使得U(P)cE,则称P为E的内点； 2)外点：如果存在点P的某个邻域UP),使得UP)nE=O,则称P为E 的外点； ③)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边点 E的边界点的全体，称为E的边界，记作⑦E. E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E. 聚点：如果对于任意给定的0，点P的去心邻域U(P,δ)内总有E中的点，则称P是E的聚点第2页

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 2 页 §8 1 多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间 1．平面点集由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点 P 与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组 (x y)与平面上的点 P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组(x y)的全体 即 R 2 RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x 2 y 2 r 2 } 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成 C{P| |OP|r} 邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于  的点 P (x y)的全体 称为点 P0 的  邻域 记为 U (P0  即 ( , ) { || | } U P0   P PP0  或 ( , ) {( , )| ( ) ( ) } 2 0 2 U P0   x y xx0  y y   邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为半径的圆的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心  邻域 记作 ( , ) U P0    即 ( , ) { | 0 | | } U P0   P  P0P    注 如果不需要强调邻域的半径 则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心邻域记作 ( ) U P0   点与点集之间的关系 任意一点 PR 2 与任意一个点集 ER 2 之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的内点 (2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的外点 (3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点 E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作E E 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于 E  聚点 如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域 U(P, )  内总有 E 中的点 则称 P 是 E 的聚点

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数徽分学及其应用由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E,也可能不属于E 例如，设平面点集 E={(x,y1<x2+y≤2} 满足1<x2+y2<2的一切点xy)都是E的内点；满足x2+y2=1的一切点x,)都是E 的边界点，它们都不属于E;满足x2+y=2的一切点(x,y)也是E的边界点，它们都属于E;点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点. 开集：如果点集E的点都是内点，则称E为开集闭集：如果点集的余集Ec为开集，则称E为闭集，开集的例子：E={x,y1<x+y<2} 闭集的例子：E-{x,y1≤2+y22. 集合{(x,y川1<x+y≤2}既非开集，也非闭集。连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E,则称E为连通集。区域（或开区域：连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x yl1<x2+y2<2}. 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E= {(x,y)1≤x2+y2≤2} 有界集对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得EcU(O,r), 其中O是坐标原点，则称E为有界点集，无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集例如，集合{x,y训1≤x2+y≤2；是有界闭区域；集合{x,y圳x+>1}是无界开区域；集合{x,y川x+21)是无界闭区域. 2.n维空间设n为取定的一个自然数，我们用R”表示n元有序数组(x1,x2,··,xm)的全体所构成的集合，即 R”=R×R××R={x1,x2··,Xn)XiER,iel,2,·,n R”中的元素x,2,·,x)有时也用单个字母x来表示，即-(x,x2,…,x).当所有的x(i=1,2,,m)都为零时，称这样的元素为R”中的零元，记为0或O. 在解析几何中，通过直角坐标，R(或R)中的元素分别与平面（或空间）中的点或向量建立一一对应，因而R”中的元素=(x,2,··,x)也称为R”中的一个点或一个n维向量，x,称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地， R”中的零元0称为R”中的坐标原点或n维零向量. 为了在集合R”中的元素之间建立联系，在R”中定义线性运算如下：设x=(,3,·,x),=y,2,…,n)为R”中任意两个元素，ER,规定 xty=(x1+1,x2+y2,·,xm+n,=(x1,2,·,xn). 这样定义了线性运算的集合R”称为n维空间. R”中点=(x,2,…,x和点=0y1,2,·,间的距离，记作p化，以，规定 px,)=:-2+(3-)2+…+(x,-yn 显然，=1,2,3时，上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至 R”中元素x=x,x2,·,xn)与零元0之间的距离p化，0)记作x(在R、R2、第3页

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 3 页由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E  例如 设平面点集 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 满足1x 2 y 2 2的一切点(x y)都是E的内点 满足x 2 y 2 1的一切点(x y)都是E 的边界点 它们都不属于 E 满足 x 2 y 2 2 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集 E 以及它的界边E 上的一切点都是 E 的聚点 开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E{(x y)|1<x 2 y 2 <2} 闭集的例子 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 集合{(x y)|1x 2 y 2 2}既非开集 也非闭集 连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于 E 则称 E 为连通集 区域 ( 或开区域 ) 连通的开集称为区域或开区域  例如 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如 E  {(x y)|1x 2 y 2 2} 有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得 EU(O r) 其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集 无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集 例如 集合{(x y)|1x 2 y 2 2}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域 集合{(x y)| xy1}是无界闭区域 2 n 维空间设 n 为取定的一个自然数 我们用 R n 表示 n 元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即 R n RR  R{(x1 x2     xn)| xiR i1 2    n} R n中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当所有的 xi (i1 2    n)都为零时 称这样的元素为 R n 中的零元 记为 0 或 O  在解析几何中 通过直角坐标 R 2 (或 R 3 )中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而R n中的元素x(x1 x2     xn)也称为R n中的一个点或一个 n 维向量 xi 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 R n 中的零元 0 称为 R n中的坐标原点或 n 维零向量 为了在集合 R n 中的元素之间建立联系 在 R n 中定义线性运算如下 设 x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为 R n 中任意两个元素 R 规定 xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn) 这样定义了线性运算的集合 R n 称为 n 维空间 R n 中点 x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作 (x y) 规定 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) n n  x y  x  y  x  y    x  y  显然 n1 2 3 时 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至 R n 中元素 x(x1 x2     xn)与零元 0 之间的距离 (x 0)记作||x||(在 R 1、R 2

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 4 页 R 3 中 通常将||x||记作|x|) 即 2 2 2 2 1 || || n x  x x   x  采用这一记号 结合向量的线性运算 便得 || || ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 1 1 x y           x y n n x y x y x y  在 n 维空间 R n 中定义了距离以后 就可以定义 R n 中变元的极限 设 x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)R n  如果 ||xa||0 则称变元 x 在 R n 中趋于固定元 a 记作 xa  显然 xa  x1a1 x2a2     xnan  在 R n 中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到 n(n3)维空间中来 例如 设 a(a1 a2     an)R n  是某一正数 则 n 维空间内的点集 U(a ){x| x R n  (x a)} 就定义为 R n 中点 a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念 二 多元函数概念例１圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r 2 h 这里 当 r、h 在集合{(r  h) | r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V 对应的值就随之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系 RT P V   其中 R 为常数 这里 当 V、T 在集合{(V T) | V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p 的对应值就随之确定 例 3 设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系 1 2 1 2 R R R R R    这里 当 R1、R2 在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1  R2)时 R 的对应值就随之确定 定义 1 设 D 是 R 2的一个非空子集 称映射 f  DR 为定义在 D 上的二元函数 通常记为 zf(x y) (x y)D (或 zf(P) PD) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量 上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 zf(x y) 值域 f(D){z| zf(x y) (x y)D}

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 5 页函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等 类似地可定义三元函数 uf(x y z) (x y z)D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 R n 内的点集 D 映射 f  DR 就称为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为 uf(x1 x2     xn) (x1 x2     xn)D 或简记为 uf(x) x(x1 x2     xn)D 也可记为 uf(P) P(x1 x2     xn)D  关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如 函数 zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域) 函数 zarcsin(x 2 y 2 )的定义域为{(x y)|x 2 y 2 1}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为二元函数 zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 例如 zaxbyc 是一张平面 而函数 z=x 2 +y 2 的图形是旋转抛物面 三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 定义 2 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数总存在正数  使得当 ( , ) ( , ) P x y D U P0     时 都有 |f(P)A||f(x y)A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为 f x y A x y x y   lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0  或 f(x y)A ((x y)(x0 y0)) 也记作 f P A P P   lim ( ) 0 或 f(P)A(PP0) 上述定义的极限也称为二重极限 例 4. 设 2 2 2 2 1 ( , ) ( )sin x y f x y x y     求证 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  证因为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 1 0| | | |sin 1 | ( , ) 0| |( )sin x y x y x y x y f x y x y             可见 >0 取     则当      2 2 0 (x 0) (y 0)  即 P(x, y) D U(O, )    时 总有

银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第八章 多元函数微分法及其应用

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