五、高阶偏导数 )腰- )票- 二元二阶偏导数共有4个 )-1列 )器 一般上，f不等于f。但若f与f:连续，则f=f。（求导次序无 关定理) 例：》：=h芳 求二阶偏导数： 10)u=2+y2+证：0++0u-2」 x2+v2+z2 作业：69页-第1(3)，(6；7题 §9-3金散分及其寇用 一、全微分的定义(70页) (以一元函数的微分概念引进) 若：=f,)在点(x,y)处的全增量△=fx+△x,y+)-x,)可以表 示为△=A·△r+B·△y+o(p) （其中：A,B与△x,4y无关，p=V△r2+Ay) 则称：=f(x,)在点（x,y)处可微（微分存在），且称A△x+B·Ay为 6
6 五、 高阶偏导数 二元二阶偏导数共有 4 个 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , , , , xx yy xy yx z z f x y x x x z z f x y y y y z z f x y y x x y z z f x y x y y x = = = = = = = = 一般上， '' xy f 不等于 '' yx f 。但若 '' xy f 与 '' yx f 连续，则 '' xy f = '' yx f 。（求导次序无 关定理） 例：9） y x z 2 = ln 求二阶偏导数； 10） 2 2 2 u = x + y + z 证： z u u y u x u 2 2 2 2 2 2 2 = + + 。 作业：69 页-第 1（3），(6); 7 题 §9-3 全 微 分 及 其 应 用 一、 全微分的定义（70 页） （以一元函数的微分概念引进） 若 z = f (x, y) 在点（ x, y ）处的全增量 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 可以表 示为 z = A .x + B y +() （其中：A, B 与 x,y 无关， 2 2 = x + y ） 则称 z = f (x, y) 在点（ x, y ）处可微（微分存在），且称 Ax + B y 为
y=∫x,y)在点(x,y)的全微分，记为d或(x,)即 k=A△x+B·Ay 或df(x,y)=A△r+B.Ay 二、可微的必要条件： 若：=x,)在点(x,y)可微，则在点(x,)的两个偏导存在。且 4=症B=房，此时，y=x0在点x圳的微分记为： (三元函数的全微分) (举例) 1Df现-ea求列 2):=amcg上求止（两种方法求） 3)(三元)M=e片求d 三、可微、可导、连续的关系 (多元函数) 可微是可导不是号连续 一 存在连续的人不可微不连续 四、全微分在近似计算中的应用 当|△xb△y1很小时，△≈止所以有 f(x0+△x,%+△y≈f(xo,o)+f(x0,o)△x+f,(xo,6)Ay 例：求2.96)2+(4.05)的近似值。（设fx,)=√x2+y,x。=3,%=4求） 作业：76页-1(2)，(4)：2
7 y = f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分，记为 dz或df (x, y) 即 dz = Ax + B y 或 df (x, y) = Ax + B y 二、 可微的必要条件： 若 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微，则在点 (x, y) 的两个偏导存在。且 y z B x z A = = , ，此时 ， y = f (x, y) 在点 (x, y) 的微分记为： z z dz dx dy x y = + 或 df x y f x y dx f x y dy x y ( , ) ( , ) ( , ) ' ' = + （三元函数的全微分） dz z u dy y u dx x u u f x y z du + + = ( , , ), = （举例） 1） ( ) ( ) 2 2 2 , , , x y t y f x y e dt df x y + = 求 2) x y z = arctg 求 dz （两种方法求） 3)（三元） x y z u e + = 求 du 三、 可微、可导、连续的关系 （多元函数） 可微 ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ 一定 不一定 可导 ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ 不一定 不一定 连续 存在连续的 , x y f f ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ 一定 不一定 可微 ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ 一定 不一定 连续 四、 全微分在近似计算中的应用* 当| x |,| y |很小时，z dz, 所以有 f x x y y f x y f x y x f x y y ( + , + ) ( , ) + x ( , ) + y ( 0 , 0 ) ' 0 0 ' 0 0 0 0 例：求 2 2 (2.96) + (4.05) 的近似值。（设 f (x, y) = x 2 + y 2 , x0 = 3, y0 = 4求 ） 作业：76 页-1（2），（4）； 2
§9-4多元复合函数的求导法则 二、两个中间变量的情形（条件见1页定理2.） ==f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y) dz dz du dz dv d证a证dl,zv ax ou dx ov dx 求导思路图：（画图） 】》您=+)列存在连续的=价份号致，求会等及票： 二、三个中间变量的情形(78页(5)(6)式) 2=f(u.y.e) u=u(x.v),v=v(x.v),w=w(x.v) 正-u+m+正r 正_正+正a+正aw dx ou dx ov ox ow dx 西+am0 求导思路图：（画图） 三、只有一个中间变量的情形(9页) z=f(u,x,） =x,y） +兴 dydy ou dy 求导思路图： (画图)
8 §9-4 多元复合函数的求导法则 一、 两个中间变量的情形（条件见 77 页定理 2 ） z = f (u,v)，u = u(x, y), v = v(x, y) x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + = 求导思路图： （画图） 举例 1） 2 , cos , , xy z z z uv u x y v e x y = = = 求 及 。 2） ( ) 2 2 2 , , z z z z f x y x y x y x = + 设 存在连续的二阶偏导数，求 及 。 二、 三个中间变量的情形（78 页-（5）（6）式） z = f (u,v,w) ，u = u(x, y) ， v = v(x, y) ， w = w(x, y) x w w z x v v z x u u z x z + + = y w w z y v v z y u u z y z + + = 求导思路图：（画图） 三、 只有一个中间变量的情形（79 页） z = f (u, x, y) u = u(x, y) x u u f x f x z + = y u u f y f y z + = 求导思路图： （画图）