王王王王王王 定理4 设A为n阶对称矩阵则必有正交矩阵P,使 P-AP=人，其中人是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 证明设A的互不相等的特征值为2,22，.，2， 它们的重数依次为1,2，r,(+2+.+r,=n) 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3（如上）可得： 王
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为
对应特征值入(i=1,2,.,S),恰有r:个线性无 关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得”：个 单位正交的特征向量.由+)+.+r,=n知， 这样的特征向量共可得n个. 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交： 王王王王王王王王王 故这n个单位特征向量两两正交， 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=P-PA=A 其中对角矩阵A的对角元素含个2，个2，恰 是A的n个特征值
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则