定理6.11（极值的第二充分条件)设f(x)在点的某邻域U(x;d）内可导，fx）存在.若fdx)=0, fx.)1 0,那么x=x.是f(x)的一个极值点，并且(i)f或x.)>0,则 f(x)在x=x.处取极小值(i)fx)<0,则 f(x)在x=x。处取极大值证同样我们仅证(i).因为fdx)fdx)- fdx.)f或x)= lim>0,limx?XoxRXoX- Xox- Xo后页巡回前页
前页 后页 返回 定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0 证 同样我们仅证(i). 因为
所以由保号性，存在d>0,当xiU(x;d)时fd(x)>0.x- xo从而当xi（x。-d,x）时fx.)<0;当xi (xo,x,+d)时fdx)> 0.由极值判别的第一充分条件得知：x.是极小值点后页巡回前页
前页 后页 返回 所以由保号性， 由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点
注建议读者与教材上的证明方法相比较，这里舱明方法更具一般性例1求函数f(x)=3arctanx-Inx的极值点解由1_- (x*. 3x+1) = 0,3fdx)x(1 + x)1 +Xx求得稳定点153+~53-Xi=,x-22巡回前页后页
前页 后页 返回 注 建议读者与教材上的证明方法相比较, 这里 的 例1 解 由 求得稳定点 证明方法更具一般性
3- V5时 fdx)<0;当0<x223-53+1当时,fdx)>0 ;<x2253 +当x时, fdx)<0. y2y =3arctan x- Inx所以 x是f(x)的极小值2点，x,是f(x）的极大值点一0xx4x（参见右图）后页巡回前页
前页 后页 返回 所以 (参见右图) 4 2 4
例2 求函数f(x)=(x-a)x 的极值点与极值.解 f(x)=x-ax3 在(-,+￥)上连续.当x！0时，f4x)-gr.2gC3,1(5x- 2a).3x当a0时，稳定点为x=2a不可导点为x=05当α=0时，稳定点为x=0，没有不可导点巡回前页后页
前页 后页 返回 例2 解 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点