4.22量词 口用来表示个体数量的词是量词 口可看作是对个体词所加的限制、约束的词 ■主要不是对数量一个、二个、三十.0具 体描述,而是讨论两个最通用的数量限制词 一个是“所有的一个是“至少有一个 分别称为全称量词和存在量词。在某种意义 上说,这是一对相对立的词
4.2.2 量词 用来表示个体数量的词是量词 可看作是对个体词所加的限制、约束的词 ◼ 主要不是对数量一个、二个、三十……的具 体描述，而是讨论两个最通用的数量限制词： 一个是“所有的”一个是“至少有一个” ， 分别称为全称量词和存在量词。在某种意义 上说，这是一对相对立的词
全称量词 口举例“凡事物都是运动的” 这命题中的“凡”就是表示个体变元数量的词,“凡”的等义词有 统類程等物而的它都是动的,或对程一众而言的的 思 是i 由于个体x的论域是包含一切事物的集合,这句话可形式描述为 vx)(x是运动的)若再以P(x)表示x是运动的,那么还可写成 VxP(x) 口符号:(vx)读作所有的x感任一x,-切x.而v就是全 称量词,它所约束的个体是X 口定义命题x)Px当且级普对论安的所有x来说, X 这就是全称量词的定 口性质:(x)P(x)=F成立,当且仅当有一个xo∈D,使 XO= 0 口注意x)P(xQ(x))≠×)P(x)yvQ(x).量词 的运算优先级高于逻辑联结词
全称量词 举例 “凡事物都是运动的” ◼ 这命题中的“凡”就是表示个体变元数量的词，“凡”的等义词有 “所有的”、“一切的”、“任一个”、“每一个”．这句话的意思 是说对任一事物而言，它都是运动的．或对任一x而言，x是运动的． ◼ 由于个体x的论域是包含一切事物的集合，这句话可形式描述为 (x)(x是运动的). 若再以P(x)表示x是运动的，那么还可写成 (x)P(x) 符号: (x)读作所有的x或任一x，一切x．而就是全 称量词，它所约束的个体是x 定义: 命题(x)P(x)当且仅当对论域中的所有x来说， P(x)均为真时方为真．这就是全称量词的定义 性质: (x)P(x)＝F成立, 当且仅当有一个x0D, 使 P(x0)＝F 注意(x)(P(x)Q(x)) (x)P(x)Q(x). 量词 的运算优先级高于逻辑联结词
存在量词 口举例“有的事物是动物 这命中“有的,就是表示个体套数量的词:的的姜义词有 它是毒物或有一又,x是动物 这句话的意思是说有一事物, 可形式描述为(x)Q(x),其中Q(x)表示x是动物 口符号:(x)读作至少有一个x感存在一个X或有某 x.而就是对个体词起约束作用的存在量词, 所约束的变元是X 口定义:命题( 另货)影紧薹 论妈中至少有一个x, Q(x0)为真时 量词的定义 口性:(3x)Q(x)=F成立当且仅当对所有的x∈D 使Q(x0≡F 口注意(3x)(P(x)vQ(x)≠(3x)P(x)vQ(x)
存在量词 举例 “有的事物是动物” ◼ 这命题中“有的”就是表示个体变元数量的词，“有的”的等义词有 “存在一个”、“有一个”、“有些”．这句话的意思是说有一事物， 它是动物．或有一x，x是动物 ◼ 可形式描述为(x)Q(x), 其中Q(x)表示x是动物 符号: (x)读作至少有一个x或存在一个x或有某 些x．而就是对个体词起约束作用的存在量词， 所约束的变元是x 定义: 命题(x)Q(x)当且仅当在论域中至少有一个x0， Q(x0)为真时方为真．这就是存在量词的定义 性质: (x)Q(x)＝F成立, 当且仅当对所有的x0D, 使Q(x0)＝F 注意(x)(P(x)Q(x)) (x)P(x)Q(x)
423约束变元和自由变元 口在一个含有量词的命题形式里,区分个体词受量词 的约束还是不受量词的约束是重要的.无论在定义 合式公式以及对个体变元作代入时都需区分这两种 情形 口若P(x)表示X是有理数,这时的变元X不受任何量词 约束,便称是自由的.而(x)P(x)中的两处出现的 变元x都受量词v的约束,便称作约束变元,受约束 的变元也称被量词量化了的变元 口命题形式(vx)P(x)√Q(y)中,变元x是约束的,而 变元y是自由的
4.2.3 约束变元和自由变元 在一个含有量词的命题形式里，区分个体词受量词 的约束还是不受量词的约束是重要的．无论在定义 合式公式以及对个体变元作代入时都需区分这两种 情形 若P(x)表示x是有理数，这时的变元x不受任何量词 约束，便称是自由的．而(x)P(x)中的两处出现的 变元x都受量词的约束，便称作约束变元，受约束 的变元也称被量词量化了的变元 命题形式(x)P(x)Q(y)中，变元x是约束的，而 变元y是自由的
量词的辖域 口量词所约束的范围称为量词的辖城.如 (x)R(xy)中,R(x,y)是(vx)的辖域 (x)(y)P(xy)中,P(xy)是(vy)的辖域,(wy)P(x y)是(x)的辖城 口命题形式P(x),在P确定为某个谓词常项时,如P(x)表 示x是自然数,如何化为命题? 个体变元X取为个体常项。如:P(2)=T是命题 将x量化。即(x)P(x)或者(X)P(x)都是命题 口(x)P(X)表示论域D上任一Xx都是自然数 CVXP(X=F 口(x)P(x)表示论域D上有一x,x是自然数 GxP(x=T 考虑命题形式P(xy)如何用量化的方法化为命题?
量词的辖域 量词所约束的范围称为量词的辖域．如 ◼ (x)R(x, y)中，R(x, y)是(x)的辖域 ◼ (x)((y)P(x, y))中，P(x, y)是(y)的辖域, (y)P(x, y)是(x)的辖域 命题形式P(x), 在P确定为某个谓词常项时, 如P(x)表 示x是自然数, 如何化为命题? ◼ 个体变元x取为个体常项。如：P(2)=T是命题 ◼ 将x量化。即(x)P(x)或者(x)P(x)都是命题 (x)P(x)表示论域D上任一x, x都是自然数 (x)P(x) = F (x)P(x)表示论域D上有一x, x是自然数 (x)P(x) = T 考虑命题形式P(x,y)如何用量化的方法化为命题？