因为aa=x2+y12+z12,cos(a,b) b 所以 a|·|b a的长度|a|=√a:a, C·b a与b的夹角(a,b)= arccos (a,b≠=0) b albea. b=xx,+v1y2+z,z,=0 第五章
第五章 工 程 数 学 a = a a, a 与 b 的夹角 ( , ) a b arccos a b a b = a⊥b a b 1 2 1 2 1 2 = x x + y y + z z = 0 a 的长度 因为 aa=x1 2+y1 2+z1 2 , | | | | cos( , ) a b a b a b = (a, b0) , 所以
二、n维向量的内积 1.R中向量内积定义 定义2 设a,B∈Ra=(x1,x2,…,xnB=(01, y2y…,yn称数x1y1+x2y2+…+xnyn为a与 B的内积.记为(aB),即 (a, B)=xiv+x,v2+.+any 第五章
第五章 工 程 数 学 定义2 二、n 维向量的内积 1. Rn 中向量内积定义 设, Rn, = (x1 , x2 , …, xn ), = (y1 , y2 , …, yn ), 称数x1 y1 + x2 y2+…+ xn yn为 与 的内积. 记为(, ) , 即 (, )= x1 y1 + x2 y2+…+ xn yn (3)
2、内积的性质 设a,B,y∈Rn,k∈R,则上面定义的内积 满足以下性质: (1)(a,B)=(B,a) (2)(a+B3,y)=(a,y)+(,y) (3)(ka,B)=(a,kB)=k(a,B) (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时,等号成立 性质(1)到(4)的证明可由内积定义直接推得 第五章
第五章 工 程 数 学 2、内积的性质 设, , Rn , kR, 则上面定义的内积 满足以下性质： (, ) = (,) ( + , ) = (, ) + (, ) (k, ) = (, k) = k(, ) (,) 0, 当且仅当 = 0时, 等号成立 . 性质(1)到(4)的证明可由内积定义直接推得. (1) (2) (3) (4)
三、欧氏空间R 定义3 称定义了内积的n维实向量空间Rn为 n维欧几里得( Euclid)空间,简称欧氏空间,仍 记作R 维欧氏空间R3具有直观性,习惯上称之 为几何空间.R3中向量长度及两向量的夹角等 概念通过内积可平行推广到R,使n维欧氏空 间具有可度量性 第五章
第五章 工 程 数 学 定义3 三、欧氏空间Rn 称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为 n 维欧几里得(Euclid)空间, 简称欧氏空间, 仍 记作Rn . 三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之 为几何空间. R3 中向量长度及两向量的夹角等 概念通过内积可平行推广到 Rn , 使 n 维欧氏空 间具有可度量性
定义4 设a=(x1,x2,…,xn)∈R,a的长度 1c|定义为√),即 2 2 a)=yx1+x2+…+xn 第五章
第五章 工 程 数 学 定义4 设 = (x1 , x2 , …, xn )Rn , 的长度 | | 定义为 (α ,α ) , 即 α 2 2 2 2 = x1 + x ++ xn (4) = (α ,α )