特别地,|a=1时,称a为单位向量 当a0,aa||a C a C aa C C C C 故称为a的单位化向量 C 第五章
第五章 工 程 数 学 特别地, | |= 1 时, 称 为单位向量. 当 0, 2 ( , ) = 2 2 1 = 故称 为 的单位化向量. =1 ) | | , | | ( | | 2 =
定义5 设a,B∈R,a=(x1,x2…,xn),B=(v,y2,…,yn) 称|a-B|=V(a-Ba-B)=(∑(x,-y1)2)2 为空间两点(或两向量间)的距离,并称之为欧 氏距离 第五章
第五章 工 程 数 学 定义5 设 , Rn , =(x1 , x2 , …, xn ), =(y1 , y2 , …, yn ) 称 | − | = ( − , − ) 2 1 2 1 (( ) ) = = − n i i i x y 为空间两点(或两向量间)的距离，并称之为欧 氏距离
定理1 向量内积满足 (a,B)s|a‖B|(5) 且等号成立的充要条件是a与B线性相关 (5)式称为柯西施瓦兹( Cauchy- Schwarz不等式 若a,B≠0,则 0 (a,B) (a, B ||B laB 第五章
第五章 工 程 数 学 定理1 向量内积满足 | (, ) | | || | (5) 且等号成立的充要条件是 与 线性相关. (5)式称为柯西施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式. 若 , 0, 则 1, | || | | ( , ) | 0 1. | || | ( , ) −1
定理1的证明 1)当a=0(或b=0)时(ab)=a|b=0(5)式成立 2)当a≠0,且b≠0时,对于任意实数,有 (a+tb, a+t6)=(a, a)+2(a, b)t+(, b)t20 记△=(2(a,b)2-4(b,b)a,a) 4(a,b)2-4(b,b)(a 从而有△=4(an6)2-4a}|b2≤0 即(ab) b 第五章
第五章 工 程 数 学 定理1的证明 1) 当a = 0 (或b = 0) 时, (a,b) = a b = 0 (5)式成立. 2) 当 a0, 且 b0 时,对于任意实数 t, 有 (a + tb,a + tb) 2 = (a,a) + 2(a,b)t + (b,b)t 0 记 (2( , )) 4( , )( , ) 2 = a b − b b a a 4( , ) 4( , )( , ) 2 = a b − b b a a 从而有 4 ( , ) 4 0 2 2 2 = a b − a b 即 (a,b) a b
a与b线性相关 ◇a+tb=0 冷(a+tb,a+tb)=0 令△=0 台(ab)=a|b 综合(1),(2)定理证毕 第五章
第五章 工 程 数 学 a 与 b 线性相关 (a,b) = a b 综合(1), (2) 定理证毕 a + tb = 0 (a + tb, a + tb)=0 =0