二、 相关系数Cov(X,Y)定义 4.3.2称为随机变量X与Y的相关系数，记为D(X) D(Y)Cov(X,Y)Pxy'即Pxy D(X) : D(Y)Cov(X,Y) = Pxy D(X) : D(Y).说明相关系数是一个无量纲的量X-E(X) Y-E(YPxr =Cov(=CoD(X)D(Y)D(X)/DY)相关系数是标准化了的X与Y的协方差0008个不个高等数学工作堂不不个
高等数学工作室 6 ) ( ) , ( ) Cov( D Y Y D X X ρXY ). ( ) ( ) , ( ) ( ) Cov( D Y Y E Y D X X E X
S下面推导相关系数的两条性质，并说明相关系数的含义：记均方误差e=E(Y-（a+bX))l，则e可用来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e值越小表示a+bX近似Y的程度越高下求a,b，使e达到最小：e=E[(Y-(a+bX)"]= E(Y2)+ b?E(X)+ a2 - 2bE(XY)+ 2abE(X) -2aE(Y),deCov(X,Y)a,= E(Y)- E(X)= 2a +2bE(X)-2E(Y)= 0daD(X)deCov(X,Y) 2bE(X°)-2E(XY)+ 2aE(X)=0 ( b, =LabD(X)将它们代入 e=E[(Y-(a +bX)"]，可得min E[(Y -(a + bX)"I = E[(Y -(a, + b,X))"I = (1- Pr2)D(Y)a,b性质10Pxr/≤1;20Pxy|=1的充要条件是存在常数a,b使P[Y =a+bX}=10008不不不高等学工作室不不1
高等数学工作室 7 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ), 2 2 2 2 E Y b E X a bE XY abE X aE Y [( ( )) ] 2 e E Y a bX , 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 2 2 ( ) 2 ( ) 0 2 bE X E XY aE X b e a bE X E Y a e , ( ) Cov( , ) 0 D X X Y b , ( ) Cov( , ) ( ) ( ) 0 D X X Y a E Y E X min [( ( )) ] 2 , E Y a bX a b (1 ) ( ). 2 [( ( )) ] xy D Y 2 E Y a0 b0X
S性质1° Pxy ≤1;2° Pxyl=1的充要条件是存在常数a,b使P(Y =α+bX}=1.证 1° : min E[(Y -(a+bX)"]= E[(Y -(a, +b,X)}]=(1-Px)D(Y) ≥0, 易得 pxyl≤1.2° 若Pxy =1,则E[(Y -(a,+b,X)"]=0,从而0 = E[(Y -(a, + b,X)"I = D[Y -(a, + b,X)I +[E(Y -(a, + b,X)},可得D[Y -(a, +b,X)]=0,E[Y -(a +b,X)]=0,由方差的性质 4°知P(Y-(α,+b,X)=0}=1,即P(Y =α.+b,X}=1反之，若存在a*,b"使P[Y =a*+b*X}=1,即P[Y -(a* + b*X)= 0} =1 = P([Y -(a* +b*X)} =0} =1= E([Y -(a" +b*X)}"} =0, 从而0 = E[Y -(a* +b*X)}"}≥ minE[(Y -(a+bX))"I = E([Y -(a. + b,X)}} =(1-p)D(Y)a.b故有 pxyl =1.008不个高等数学工作堂个不个
高等数学工作室 8 min [( ( )) ] 2 , E Y a bX a b (1 ) ( ) 2 xy D Y [( ( )) ] 2 E Y a0 b0X 0, 0 [( ( )) ] 2 E Y a0 b0X [ ( )] D Y a0 b0X [ ( ( ))] , 2 E Y a0 b0X [ ( )] 0, E Y a0 b0X {[ ( )] } 0, 2 E Y a b X {[ ( )] 0} 1 2 P Y a b X 0 {[ ( )] } 2 E Y a b X min [( ( )) ] 2 , E Y a bX a b {[ ( )] } 2 E Y a0 b0X (1 ) ( ), 2 ρXY D Y