CHAPTER 謝通离中课程标准实验教科书数学(选修47)优选法与试验设计初步 理数,具体应用时,我们往往取其近似值0.618,相应地,也把黄金分割法叫做0.618法 2.黄金分割法—0.618法 把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,即黄金分割法,是最常用的单因素单 峰目标函数的优选法之一.下面我们通过例子说明它的具体操作方法 案例炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料,使炼出的钢满足一定的指标要求 假设为了炼出某种特定用途的钢,每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间,问 如何通过试验的方法找到它的最优加入量? 最朴素的想法就是以1g为间隔,从1001开始一直到1999,把1000~2000g间所 有的可能性都做一遍试验,就一定能找到最优值.这种方法称为均分法.但这样要做1000 次试验,在时间、人力和物力上都是一种浪费.用0.618法,可以更快、更有效地找出最 佳点.具体操作方法如下 用一张纸条表示1000~2000g,以1000为起点标出刻度.找出它的黄金分割点x1 (在长度的0.618处)作为第1试点;再对折纸条,找出x1的对称点x2作为第2试点(图 1-8) 1000 1382 l68 000 图1-8 这两点的材料加入量是 x1=1000+0.618×(2000-1000)=1618(g), x2=1000+2000-x=1382(g), 如果称因素范围的两端分别为小头和大头,那么上述两式可表示为 1=小+0.618×(大一小); (1) r2=小+大-x1 (2) 对于式(2),相当于是“加两头,减中间”类似的,在 如果这两次试验结果 确定第n个试点x。时,如果存优范围内相应的好点是 样,则应具体分析,看最佳 那么有 点可能在哪一边,再决定取 x=小+大一xm 舍.在一般情况下,可以 比较两次试验结果,如果第2试点比第1试点好,◎1382]和[1618.200,仅 则沿1618处将纸条剪断,去掉1618以上部分,保留 保留中间因素范围[1382, 1618以下部分.将保留的纸条对折,找出第2试点x2 1618].那么这样做会不会 的对称点x作为第3试点(图1-9).按公式(*),有 划去最佳点呢? r3=1000+1618-1382=1236, 即第3次的材料加入量是1236g 8
第一讲优选法 第一拼 如果第2试点仍是好点,则剪掉1236以下部分,在留下部分内寻找x2的对称点x4 作为第4试点(图1-10),按照公式(*)可得第4试点的材料加入量为1472. 10001236:1382 1 618 12361382:1472618 图1-9 图1-10 如果这点比第2点好,则剪掉1382以下部分,在留下的部分内按同样的方法继续下 去,就能迅速逼近该元素的最佳加入量. 对于一般的因素范围[a,b,用0.618法确定试点的操作过程与上述过程完全一致. 从上述过程可以看到,用0.618法寻找最佳点时,虽然不能保证在有限次内准确找出 最佳点,但随着试验次数的增加,最佳点被限定在越来越小的范围内,即存优范围会越来 越小.我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率,这个比值叫做精 度,即n次试验后的精度为 .-次大试验后的套优范围 显然,在相同试验次数下,精度越高,方法越好. 用0.618法确定试点时,从第2次试验开始,每一次试验都把存优范围缩小为原来的 0.618.因此,n次试验后的精度为 n=0.618° 用0.618法寻找最佳点时,达到精度0.05的要求需要多少次试验?精度0.01 呢?精度呢 设达到精度0.05的要求需要〃次试验,那么 0.6181≤0.05, g0.05 lgo.6+1≈7.2 于是,只要安排8次试验,就能保证精度达到0.05.同理可得,安排11次试验,就能保 证精度达到0.01 般地,给定精度δ,为了达到这个精度,所要做的试验次数n满足 0.6181≤0<1