第一讲优选法 第一坪 优选法和其他科学一样,是在实践的基础上产生和发展起来的.20世纪60年代,著 名数学家华罗庚亲自组织推广了优选法,使优选法得到了广泛应用,取得了可喜成果 习题 1.什么叫优选法? 2.你能举一些自己生活中遇到过的优选问题吗? 二、单峰函数 在军事训练中,经常要考虑发射角度多大时炮弹的射 程最远.这是一个优选问题 如图1-1,设炮弹的初速度为v,发射角度为 0(0≤k≤2).在时刻,炮弹距发射点的水平距离为x,离 地面的高度为y.如果忽略空气阻力,则有 -tang I 图1-1 2v 0 其中v=|v|,g为重力加速度 令y=0,得 x1=0,x2=sin20. 因此,炮弹的射程为sin20. 从上述讨论可以发现,在一定的发射速度下,炮弹 射程 的射程是发射角的函数.当发射角0∈0,)时,射程 随发射角的增加而增加;当发射角为时,射程最大, 因此=是发射角的最佳点;当发射角∈(,翌时 发射角度 射程随发射角的增加而减小(图1-2) 图1-2 许多优选问題都有如上所述的情形.就是说,我们常常仅知道在试验范围内有一个最 佳点,当试验范围内变化因素的取值比最佳点再大些或再小些时,试验效果都差,而且取 值距离最佳点越远试验效果越差.通常称这样的试验具有单峰性 如果函数f(x)在区间[a,b上只有唯一的最大值点(或最小值点)C,而在最大值点 3
CHAPTER 菩通高中课程标准实验教科书数学(修47)优选法与试验设计初步 (或最小值点)C的左侧,函数单调增加(减少);在点C的右侧,函数单调减少(增加),则 称这个函数为区间a,b上的单峰函数.例如,图1-3中的两个函数f(x),g(x)就是单 峰函数. 凡x) glr 426 x (1) 图1-3 我们规定,区间[a,b上的单调函数也是单峰函数 由于对有最大值点和最小值点的处理方法类似,下面我们仅考虑有最大值点的单峰 函数 事实上,在炮弹发射试验中,除发射角外,初速度、空气阻力等也会影响炮弹的射 程.我们把影响试验目标的初速度、发射角、空气阻力等称为因素.由于全面考虑试验中 的各种因素往往非常困难,因此我们常常会假设其中的某些因素保持不变,或忽略某些影 响较小的因素,而把关注点集中在感兴趣的某个因素上例如,上述过程中,我们只考虑 发射角这个因素,而认为初速度保持不变,并忽略了空气阻力.像这样,在一个试验过程 中,只有(或主要有)一个因素在变化的问题,称为单因素问题.另外,我们把试验中可以 人为调控的因素(例如发射角)叫做可控因素,而把那些不能人为调控的因素(例如空气阻 力)叫做不可控因素.一般的,我们感兴趣的都是可控因素 由上述过程可以看到,射程(目标)可以表示为发射角(因素)的函数.像这样表示目标 与因素之间对应关系的函数,称为目标函数.我们常用x表示因素,f(x)表示目标函数 (并不需要f(x)的真正表达式).假定包含最佳点的因素范围(试验范围)下限用a表示,上 限用b表示,因素范围可以用a到b的线段来表示,并记作[a,b].如果不考虑端点a, b,就记成(a,b). 当主要因素确定之后,接下来的任务是选择某种方法安排试验点(简称试点),通过试 验找出最佳点,使试验的结果(目标)最好. 设x和x2是因素范围a,b]内的任意两个试点,C点为最佳点,并把两个试点中效 果较好的点称为好点,效果较差的点称为差点.由图1-4(1)、(2)可以直观地发现:若目 标函数为单峰函数,那么好点比差点更接近最佳点,且最佳点与好点必在差点的同侧.于 是,我们以差点为分界点,把因素范围分成两部分,并称好点所在部分为存优范围
第一讲优选法 第一 fx) 好 1) (2) 图1-4 习题 t)1.判断下列函数在区间[一1,5上哪些是单峰函数 (1)y=3x2-5x+2 (2)y=-x2-3x+1; (3)y=cos x (4)y=e 2.你在现实生活中遇到过哪些具有单峰性质的现象?举例说明 三、黄金分割法—0.618法 1.黄金分割常数 /操 对于一般的单峰函数,如何安排试点才能迅速找到最佳点? 对于单峰函数,在同侧,离最佳点越近的点越是好点,且最佳点与好点必在差点的同 侧.由此,可按如下想法安排试点:先在因素范围[a,b内任选两点各做一次试验,根据 试验结果确定差点与好点,在差点处把[a,b分成两段,截掉不含好点的一段,留下存优 范围a,b],显然有[a,b]s[a,b];再在[a1,b]内任选两点各做一次试验,并与 上次的好点比较,确定新的好点和新的差点,并在新的差点处把[a1,b]分成两段,截掉 不包含新好点的那段,留下新的存优范围[a2,b2],同样有[a2,b2]=[a,b]……重复 圆5
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修47)优选法与试验设计初步 上述步骤,可使存优范围逐步缩小. 在这种方法中,试点的选取是任意的,只要试点在前一次留下的范围内就行了.这种 任意性会给寻找最佳点的效率带来影响.例如,假设因素区间为[0,1],取两个试点 1那么对峰值在()中的单峰函数,两次试验便去掉了长度为3的区间(图1:5) 但对于峰值在({,1)的函数只能去掉长度为的区间(图152),试验效率就不理 想了 x O0102 图1-5 思考 怎样选取各个试点,可以最快地达到或接近最佳点? 我们希望能“最快”找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数,而是对 这类函数有普遍意义,由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好,哪一次差,即这 两个试点有同样的可能性作为因素范围[a,b的分界点,所以为了克服盲目性和侥幸心 理,在安排试点时,最好使两个试点关于[a,b的中心“”对称同时,为了尽快找到最 佳点,每次截去的区间不能太短,但是也不能很长.因为为了一次截得足够长,就要使两 个试点x1和x2与2足够近,这样,第一次可以截去a,b]的将近一半.但是按照对称 原则,做第三次试验后就会发现,以后每次只能截去很小的一段,结果反而不利于很快接 近最佳点 为了使每次去掉的区间有一定的规律性,我们这样来考虑:每次舍去的区间占舍去前 的区间的比例数相同 下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点.如图1-6,设第1试点、第2 试点分别为x和x2,x2<n1且x1,x2关于[a,b的中心对称,即x2-a=b-x1 6
第一讲优选法 第一拼 显然,不论点x2(或点x1)是好点还是差点, 由对称性,舍去的区间长度都等于b一x1.不妨 设x2是好点,x是差点,于是舍去(x1,b]. 再在存优范围[a,x]内安排第3次试验,设试 点为x3,x3与x2关于[a,x]的中心对称(如 图1-6 图1-7所示) 点x3应在点x2左侧.因为如果点x3在点x2的右侧,那 么当x3是好点,x2是差点时,要舍去区间[a,x2],而它的长 度与上次舍去的区间(x1,b的长度相同,违背成比例舍去的 原则.于是,不论点x3(或点x2)是好点还是差点,被舍去的 图1-7 区间长度都等于x1-x.按成比例舍去的原则,我们有等式 =x1 (1) b 其中,左边是第一次舍去的比例数,右边是第二次舍去的比例数.对式(1)变形,得 b 1-21-x2 即 式(2)两边分别是两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间的比例数.设每次舍弃后的 存优范围占舍弃前全区间的比例数为t,即 1-a 则由b-x2=n1-a可得 由式(2)得 a b (5) b-a . I 把(3)与(4)代入(5),得 即 t2+t-1=0. 解得t1= 1+√5 1-√5 .其中t1为对本问题有意义的根,这就是黃金分割常数 用ω表示 试验方法中,利用黄金分割常数a确定试点的方法叫做黄金分割法.由于 /5-1 2是无 7