高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第10讲 两个重要极限、极限存在准则

函数极限的夹逼定理 定理设x∈U(x0,6)(|x>X)时,有 g(x)≤f(x)≤h(x) 若limg(x)=limh(x)=a,则必有 x→)x x→>x0 x→∞ (x->∞) lim f(x=a x→)x

设 x  U ˆ (x0 , ) (| x |  X ) 时, 有 g(x)  f (x)  h(x). 若 lim ( ) lim ( ) , 则必有 ( ) ( ) 0 0 g x h x a x x x x x x       lim ( ) . ( ) 0 f x a x x x   

只证x→x的情形 设g(x)≤f(x)≤h(x)x∈U(x0,1),且 lim g(x)=lim h(x)=a,ay VE>0 62>0,当0<|x-x0<6时,|h(x)-a|<E 即a-E<h(x)<a+E 彐δ3>0,当0<|x-x0<63时,|g(x)-a|<E 即(a-E<8(x)a+E 取O=min{1282,83},则当0<|x-x|<8时, a-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<a+E 即limf(x)=a

证 . 只证 x  x0 的情形 设 g(x)  f (x)  h(x) x  U(x0 , 1) , 且 lim ( ) lim ( ) , 0 , 0 0       g x h x a 则  x x x x 0, 0 | | , | ( ) | . 2 0 2   当  x  x   时 h x  a   0, 0 | | , | ( ) | . 3 0 3   当  x  x   时 g x  a   即 a    h(x)  a  . 即 a    g(x)  a  . min{ , , }, 0 | | , 取    1  2  3 则当  x  x0   时 a    g(x)  f (x)  h(x)  a   , lim ( ) . 0 f x a x x   即

2 例1求imx 解由取悲函数的定义,有 X X X 故当x>0时,2-x<x < 当x>0时,2-x> 2x2-x 2,夹逼定理 而lim(2-x)=2,所以,imx x->0 x→>0x

例1 . 2 lim 0        x x x 求 解 由取整函数的定义, 有 , 2 2 1 2 x x x          2; 2 0 , 2           x 故当 x 时 x x 2, 2 0 , 2           x 当x 时 x x 2. 2 lim(2 ) 2, , lim 0 0            x x x x x 而 所以 夹逼定理

二。重要极限 1.重要极限lim sInx x->0 X 2.重要极限lim1+

二.重要极限 1 sin 1. lim 0   x x x 重要极限 1 2. lim 1 e x x x          重要极限

SInx 重要极限lim 0 W 首先看看在计算机上 进行的数值计算结果:

首先看看在计算机上 进行的数值计算结果： 1 sin 1. lim   x x x 0 重要极限