将和y代入原方程得(x)e P(x)dx =Q(x) 积分得u(x)=「Q(x P(x)de dx+C, 阶线性非齐次微分方程的通解为: 工工工 y=」(x ∫P( x)dx dx+Cle P(xdx P(x)dx P(x)dx s=Ce e foce pe 对应齐次 非齐次方程特解 方程通解 上页
将y和y代入原方程得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x d x + = ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx = − 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: + = − P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x + = − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解
例1求方程y+-y SIn d 的通解 sInx 解P(x)= Q(x)= SInd dx x'ex dx+C =cx(温mx,cm+C Gsin xdx+C)=cos x+c) 上页
. 1 sin 求方程 的通解 x x y x y + = , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x = = + − e dx C x x y e d x x d x x1 1 sin = + − e dx C x x e ln x sin ln x = ( xdx + C ) x sin 1 ( cos ). 1 x C x = − + 解例 1
上例2如图所示,平行与轴的动直线被曲 线y=f(x)与y=x3(x≥0截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积,求曲线∫(x) 解f(x)dc=√(x3-y)2 2 0 y y=x x 庄=xy 两边求导得y+y=3x2 y=f(r) x 解此微分方程 上页
例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . y y = f (x) ( 0) 3 y = x x f (x) ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x = − = − x ydx x y 0 3 , 两边求导得 3 , 2 y + y = x 解 解此微分方程 x y o x P Q 3 y = x y = f (x)