临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第九章定积分 基本概念 1.设闭区间[ab]内有n-1个点,依次为 a=xo< x,<x,<.<xn<x=b, 将闭区间[ab]分成n个小区间,记为Ax1=[x-1,x,],i=1,4 简记为 T={xa,x1,…,xn},或T={△x1,Ax2,…,Axn}并称为区间[ab]的一个分割。同时也用 Ax=x-x2,1=12…,m,并记=max△x}称为分割T的模 2.设∫(x)是定义在[ab]上的一个函数,对于[ab]的一个分割 T={x1,Ax2…,Axn},任取点5∈Ax,i=12,…,n,并作和式∑f(5)Ax,。称此和 式为f(x)在[ab关于分割T的一个积分和,也称黎曼和 二、基本定理 1.若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则∫(x)在[a,b]上可积,且 f(xdx= F(b-F(a) 这即为牛顿一莱布尼茨公式,也常记为f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)。 2.若函数f(x)在[a,b上可积,则f(x)在[a,b上必有界。 3.函数f(x)在[a,b]上可积分对VE>0,彐T,使得S(T)-s(T)<E 设O1=M1-m1,并称为f(x)在Ax上的振幅,有必要时记为o!。则有 S(T)-s(T)=∑o,Ax 4.函数f(x)在[ab]上可积台对VE>0,3T,使得∑Ax<E。 5.若函数∫(x)为[a,b]上的连续函数,则∫(x)在[a,b上可积
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第九章 定积分 一、基本概念 1. 设闭区间[ a.b ]内有 n −1个点，依次为 a = x0 < x1 < x2 < L < xn−1 < xn = b ， 将闭区间 [ a.b ] 分 成 n 个小区间，记 为 [ , ] i i 1 i x x x ∆ = − ， i = 1,2,L, n ， 简 记 为 T = {x0 , x1 ,L, xn }，或 { , , , } 1 2 n T = ∆x ∆x L ∆x 并称为区间[ ]的一个分割。同时也用 ， a.b ∆ i = i − i−1 x x x i = 1,2,L, n ，并记 max{ } 1 i i n T = ∆x ≤ ≤ 称为分割 T 的模。 2. 设 f (x) 是定义在 [ a.b ] 上的一个函数，对于 [ a.b ] 的 一 个分割 { , , , } 1 2 n T = ∆x ∆x L ∆x ，任取点 i i ξ ∈ ∆x ，i = 1,2,L, n ，并作和式 。称此和 式为 在[ ]关于分割 T 的一个积分和，也称黎曼和。 i n i i ∑ f ∆x = ( ) 1 ξ f (x) a.b 二、基本定理 1. 若函数 f (x) 在[a,b]上连续，且存在原函数 F(x) ，则 f (x) 在[a,b]上可积，且 ∫ = − b a f (x)dx F(b) F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为 ∫ = = − b a b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) 。 2. 若函数 f (x) 在[a,b]上可积，则 f (x) 在[a,b]上必有界。 3. 函数 f (x) 在[a,b]上可积⇔ 对∀ε > 0，∃T ，使得 S(T ) − s(T ) < ε 。 设ωi = Mi − mi ，并称为 f (x) 在 i ∆x 上的振幅，有必要时记为ωi f 。则有 i n i i S T − s T = ∑ ∆x =1 ( ) ( ) ω 。 4. 函数 f (x) 在[a,b]上可积⇔ 对∀ε > 0，∃T ，使得∑ω ∆ < ε 。 = i n i i x 1 5. 若函数 f (x) 为[a,b]上的连续函数，则 f (x) 在[a,b]上可积。 - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 6.若∫(x)是区间[a,b上只有有限个间断点的有界函数,则∫(x)在[a,b]上可积。 7.若f(x)是区间[ab]上的单调函数,则f(x)在[a,b]上可积。 8.若∫(x)在[a,b上连续,则至少存在一点∈[an,b],使得 x)dx=f(5(b-a) 积分第一中值定理的几何意义:如右图,若f(x)在[a,b上非负连续,则y=f(x)在 [a,b]上的曲边梯形的面积等于以∫(5) b-aJf(x)为高,[a,b]为底的矩形的面积。 9.若∫(x)和g(x)都在[a,b]上连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则至少存在一点 5∈[ab],使得[f(x)g(x)dx=f(5)g(x)h 10若f(x)在a上可积,则(x)=「f()在ab上连续 1若函数f(x)在[ab上连续,则x)=fot在b上处处可导,且 ()=d=f(x),x∈[a 12.设∫(x)在[a,b]上可积 (1)若函数g(x)在[a,b]上单调递减,且g(x)≥0,则彐ξ∈[a,b],使得 ∫f(xgx)x=g(a)(x) (2)若函数g(x)在[a,b]上单调递增,且g(x)≥0,则彐η∈[a,b,使得 f(x)g(x)dx=g(b)/(x)dx 13.设函数∫(x)在[a,b]上可积,函数g(x)在[a,b]上单调,则彐5∈[a,b,使得 )g(x)dx=g(a)'f(x)dx+g(b).f(x)dx 14.若函数∫(x)在[a,b]上连续,(x)在[a,上连续可微,且满足 q(a)=a,(B)=b,a≤(1)≤b,t∈[a,B 则有定积分的换元积分公式:[f(xdx=[f(o()(n)t=[,f(()dp(t) 15.若u(x)、v(x)为[a,b]上的连续可微函数,则有定积分的分部积分公式
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 6. 若 f (x) 是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则 f (x) 在[a,b]上可积。 7. 若 f (x) 是区间[a,b]上的单调函数，则 f (x) 在[a,b]上可积。 8. 若 f (x) 在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ ∈[a,b]，使得 ∫ = − b a f (x)dx f (ξ )(b a)。 积分第一中值定理的几何意义： 如右图，若 在 上非负连续，则 在 上的曲边梯形的面积等于以 f (x) [a,b] y = f (x) [a,b] ∫ − = b a f x dx b a f ( ) 1 (ξ ) 为高，[a,b]为底的矩形的面积。 9. 若 f (x) 和 g(x) 都在[a,b] 上连续，且 g(x) 在[a,b] 上不变号，则至少存在一点 ξ ∈[a,b]，使得 ∫ ∫ = b a b a f (x)g(x)dx f (ξ ) g(x)dx 10. 若 f (x) 在[a,b]上可积，则Φ = ∫ 在 上连续。 x a (x) f (t)dt [a,b] 11. 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，则 Φ = ∫ 在 上处处可导，且 x a (x) f (t)dt [a,b] ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a Φ′ = = ∫ ， x ∈[a,b] 。 12. 设 f (x) 在[a,b]上可积。 （1） 若函数 g(x) 在[a,b]上单调递减，且 g(x) ≥ 0 ，则∃ξ ∈[a,b]，使得 ∫ ∫ = 。 b a a f x g x dx g a f x dx ξ ( ) ( ) ( ) ( ) （2） 若函数 g(x) 在[a,b]上单调递增，且 g(x) ≥ 0 ，则∃η ∈[a,b]，使得 ∫ ∫ = 。 b a b f x g x dx g b f x dx η ( ) ( ) ( ) ( ) 13. 设函数 f (x) 在[a,b]上可积，函数 g(x) 在[a,b]上单调，则∃ξ ∈[a,b]，使得 ∫ ∫ ∫ = + b b a a f x g x dx g a f x dx g b f x dx ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 14. 若函数 f (x) 在[a,b]上连续，ϕ(x) 在[α, β ]上连续可微，且满足 ϕ(α) = a ，ϕ(β ) = b， a ≤ ϕ(t) ≤ b ，t ∈[α, β ]， 则有定积分的换元积分公式： ∫ ∫ = ′ = ∫ 。 β ε β α f (x)dx f (ϕ(t))ϕ (t)dt f (ϕ(t))dϕ(t) b a 15. 若u(x) 、v(x) 为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式： - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 u(x)v(x)dr=u(x)v(x)-u'(x)v(x)dx u(x)dv(x)=u(x)(x)- v(x)du(x) 基本要求 1知道定积分的客观背景一一曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问 题的数学思想方法:深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利 定义解决问题; 2.深刻理解微积分基本定理的意义,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质,掌握可积的充要条件及可积函数类 能独立地证明可积性的问题;理解并熟练地应用定积分的性质 4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题. 四、典型例题 例1已知函数f(x)=x2在区间p小>0)上可积,用定义求积分xa 解:取n等分区间[0b作为分法r 取￡;=x,= ib n ≤i≤m)xdx=lim∑xAx=m∑ ib /Sr=l/). n(n+1)2n+1) 例2计算Jn=sin"xdt=lcos"xtr 解,-m-(0=m0+1os如m
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ∫ ∫ ′ = − ′ b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx ， 或 ∫ ∫ = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 。 三、基本要求 1 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问 题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用 定义解决问题； 2. 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 3. 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类， 能独立地证明可积性的问题；理解并熟练地应用定积分的性质； 4. 熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 四、典型例题 例 1. 已知函数 ( ) 在区间 2 f x = x [0,b] (b > 0)上可积 .用定义求积分 x dx . b ∫ 0 2 解： 取n 等分区间[0,b]作为分法T , n b x ∆ i = . 取 n ib x ξ i = i = ( ) 1 ≤ i ≤ n . 3 1 2 2 1 1 2 0 2 ∫ lim∑ lim∑ lim∑= →∞ = →∞ = →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ∆ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∆ = n i n i n i n i n i i n b n ib x i n ib x dx x x ( )( ) 3 1 2 1 6 1 lim lim 3 3 1 2 3 b n n n n b i n b n n i n ⎟ ⋅ + + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = →∞ = →∞ ∑ ＝ . 例 2 计算 ∫ ∫ = = 2 0 2 0 sin cos π π J xdx xdx n n n . 解： ( ) ( ) ∫ ∫ − − − = = − + 2 0 ' 2 1 0 1 2 0 1 ' sin cos sin cos cos sin π π π J x x dx x x x x dx n n n n - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 cl-sin2xkdx=(n-1)m-2-(n-1). 解得,="-J3,直接求得1-m=1,J-血=,于是 当n为偶数时,有 n-1n-331 n (n-1)(n-3)…531x(n-1 m(n-2)…422-m!2 当n为奇数时,有Jn= 例3证明不等式ln(n+1)<1++…+-<1+ln n 证明:考虑函数(x)=1.n≤x×<n+1n=12…,8(x)=1,xe[+ 易见对任何n,在区间[n+]上g(x)和∫(x)均单调,因此可积,且有g(x)≤f(x) 注意到g(x)≠(x),就有g(<∫八,而 dx glx 因此有lm(n+1)<∑2=1++…+
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 1 sin x 1 sin x dx n 1 J n 1 J 2 2 0 2 2 = − − = − − − − − ∫ π ； 解得 2 1 − − n = n J n n J ， 直接求得 sin 1 2 0 1 = = ∫ π J xdx ， 2 2 0 0 π π = = ∫ J dx . 于是, 当 n 为偶数时, 有 2 4 0 2 1 4 3 2 1 3 2 1 1 3 J n n n n J n n n n J n n J n n n ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ − = = − − ⋅ − = − = − − L L ( )( ) ( ) ( ) !! 2 1 !! 2 4 2 2 1 3 5 3 1 π π ⋅ − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ ⋅ = n n n n n n L L ; 当 n 为奇数时, 有 ( ) !! 1 !! 3 2 5 4 2 1 3 1 n n J n n n n J n − ⋅ ⋅ ⋅ = − − ⋅ − = L . 例 3 证明不等式 ( ) n n n 1 ln 1 2 1 ln +1 < 1+ +L+ < + . 证明： 考虑函数 ( ) , 1, 1,2,L 1 = n ≤ x < n + n = n f x , ( ) = , ∈[ ] 1,+∞ 1 x x g x . 易见对任何 n , 在区间[ ] 1,n +1 上 g(x)和 f (x) 均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而 g( ) x ≤ f (x) g( ) x ≠ f (x) g( ) x dx f ( ) x dx n n ∫ ∫ + + < 1 1 1 1 ∫ ( ) ∑ ∫ ( ) ∑ ∫ ∑ = = + = + + = = = n i n i i i n i i i n i dx i f x dx f x dx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ) ln ln( 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = + + + + ∫ ∫ dx x n x g x dx n n n ) . 因此有 ( ) i n n n i 1 2 1 1 1 ln 1 1 + < ∑ = + + + = L . - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 取f(x)= n+1 n≤x<n+1n=12,…,g(x)=-,x∈[ 在区间[n+]仿以上讨论,有∫g(xk>J/(xk,而 g(xx=ln,∫f(x)x +一+… i+1 1+-+…+一<1+lnn 综上,有不等式ln(n+1)<1++…+-<1+ln 例4证明 Schwarz不等式(亦称为 Cauch- ByHAKOBCKHA不等式) 设函数∫(x)和g(x)在区间[ab]上连续(其实只要可积就可).则有不等式 f(x)(xx≤「f(xx·[g2(xk 证法一:(由 cauchy不等式→ Schwarz不等式 设{a1a2…an}和{,b2…,bn}为两组实数,则有 b.≤ b 设T为区间[b]的n等分分法.由 Cauchy不等式,有 ∑/(k()s∑/(s)∑g() 两端同乘以 >0,有
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 取 ( ) , 1, 1,2,L 1 1 ≤ < + = + = n x n n n f x , ( ) = , ∈[1,+∞) 1 x x g x . 在区间 [1,n +1]仿以上讨论, 有 g( ) x dx f ( ) x dx . 而 n n ∫ ∫ > 1 1 g( ) x dx n， n ln 1 = ∫ ( ) i i n f x dx n i n i i i n 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + = + ∫ = ∑∫ ∑ − = − = + L ， ⇒ n n 1 ln 1 2 1 1+ +L+ < + . 综上 , 有不等式 ( ) n n n 1 ln 1 2 1 ln +1 < 1+ +L+ < + . 例 4 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский不等式 ): 设函数 和 在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式 . f (x) g(x) [a,b] f ( ) x g( ) x dx f ( ) x dx g ( ) x dx b a b a b ∫a ∫ ∫ ≤ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 2 2 证法一： (由 Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 .) 设 { } a1 ,a2 ,L,an 和{b1 ,b2 ,L,bn }为两组实数, 则有 ∑ ∑ ∑ . = = = ⎟ ≤ ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i n i i i n i i i a b a b 1 1 2 2 2 1 设T 为区间 [ ] a,b 的 n 等分分法. 由 Cauchy 不等式 , 有 ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) , = = = ⎟ ≤ ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i n i i i n i i i f g f g 1 1 2 2 2 1 ξ ξ ξ ξ 两端同乘以 ( ) 0 2 2 > − n b a , 有 - 5 -