(解法二)先导出有名的“重期望公式”: 定理设(2,m)为二维随机变量,E5存在,则 Es=E(E(n 其中的E(2|n)为条件期望。 证:仅对连续型场合进行证明。 设(5,7)联合密度为Pn(x,y), 则P2(x,y)=P (x|y)·p2(y) + 记8(y)=E(5n=y)=」xPm(xy), 则g()=E(5|n)
（解法二）先导出有名的“重期望公式”： 定理 设 ηξ ),( 为二维随机变量， Eξ 存在，则 = EEE ηξξ ))|(( 其中的 E ηξ )|( 为条件期望。 证：仅对连续型场合进行证明。 设 ηξ ),( 联合密度为 yxp ),( ξη ， 则 yxp ),( ξη )()|( | = ηξ ⋅ η ypyxp ， 记 )|()( )|( dxyxpxyEyg ∫ | ∞+∞− ηξ ⋅=== ηξ ， 则 = Eg ηξη )|()(
从而 + E o0d-0 x P(x, y)dxdy=Lxp(x y)P,(y)drdy 广xp(x1y(yb=上El7=y)p(o glp,dy=e(g)=e(esin 这就是重期望公式。 解法二:先把ξ取定为x,考虑E(|5=x) 当10≤x<20时, E(5|5=x)=30 71 20 +(10y+20x)pn(y|x)d
从而 ),( dxdyyxpxE )()|( dxdyypyxpx | η ξη ηξ ξ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞∞− +∞∞− +∞∞− +∞∞− ⋅= ⋅= ∫ ∫ ∫+∞∞− +∞∞− +∞∞− ⋅= = = )()|()(})|({ dyypyEdyypdxyxpx | η η ηξ ηξ ηξη )).|(())(()()( = η == EEgEdyypyg ∫+∞∞− 这就是重期望公式。 解法二：先把ξ 取定为 x ，考虑 ξζ = xE )|( 。 当 ≤ x < 2010 时， ξζ = xE )|( | )|(30 10 xypy x ξη ⋅= ∫ dy dyxypxy x )|()2010( | 20 ξη ⋅++ ∫
注意到5与7的独立性,故pn(yx)=pn(y),从而 E(5|2=x) 30y·Pn(y (y)+(10y+20x)Pn(y) 20 30y小+(10y+20x)…小 0+40x 当20≤x≤30时,类似有 20 E(|5=x) 30y·Pn(y)dy 30y=450 然后对5再作一次平均,这样 E=E(E(5=x)=JE(51=x)2(x)+DE(5=x)p:(x 20 30 (50+40x-x2)ax+ 20 2020 450x=4333(万元)
当 20 x ≤≤ 30 时，类似有 ξζ = xE )|( 450 101 )(30 30 20 10 20 10 ⋅= =⋅= ∫ ∫ dyypy dyy η 注意到 ξ 与η 的独立性，故 )()|( |ξη = η ypxyp ，从而 ξζ = xE )|( dyypy x )(30 10 η ⋅= ∫ dyypxy x )()2010( 20 η ⋅++ ∫ dyy x 10 1 30 10 ⋅= ∫ dyxy x 101 )2010( 20 ⋅++ ∫ 2 4050 −+= xx 然后对ξ 再作一次平均，这样 )()|()()|())|(( dxxpxEdxxpxExEEE 20 20 20 10 = ξζζ == ∫ ξζ = ξ + ∫ ξζ = ξ 450 33.433 20 1 )4050( 201 30 20 20 10 2 = +−+ = ∫ ∫ dxxx dx （万元）
例2(效用函数与证券组合投资策略)设有一大笔资金, 总量为1,今将其中的x投资于甲证券,其余的1-x△y投 资于乙证券,于是(x,y)构成了一种组合投资,又设证券 (甲,乙)的收益率构成随机向量(,m)服从正态分布 N(122 试求最佳投资策略
例 2（效用函数与证券组合投资策略）设有一大笔资金， 总量为 1，今将其中的 x 投资于甲证券，其余的1 Δ− yx 投 资于乙证券，于是 yx ),( 构成了一种组合投资，又设证券 （甲，乙）的收益率构成随机向量 ηξ ),( 服从正态分布 ),,,,( 2 2 2 N 121 ρσσμμ ，试求最佳投资策略