第七节 第十二章 高阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程举例 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 A四、常数变易法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第七节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第十二章
二阶线性微分方程举例 例1质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开,物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动,阻力的大小与运动速度 成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程. 解:取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图设时刻t物位移为x() O 1)自由振动情况.物体所受的力有 x 弹性恢复力f=-cx(虎克定律) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, x x o 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
du 阻力R=-/dt 据牛顿第二定律得m dr2-cx-/ up d dt 令2n=,k2=C,则得有阻尼自由振动方程 d +2n--+k2x=0 d t d t (2)强迫振动情况若物体在运动过程中还受铅直外力 F= H sin pt作用,令h=,则得强迫振动方程 d +2n+kx=hsin pt d d t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
据牛顿第二定律得 , 2 m c 2 , k = m n 令 = 则得有阻尼自由振动方程: 0 d d 2 d d 2 2 2 + + k x = t x n t x 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 F = H sin pt 作用，令 ， m h H = 则得强迫振动方程: k x h pt t x n t x sin d d 2 d d 2 2 2 + + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设有一个电阻R,自感L电容C和电源E串 联组成的电路,其中R,L,C为常数,E= E. sino, 求电容器两两极板间电压l所满足的微分方程 提示:设电路中电流为(O),极板 R 上的电量为q(0),自感电动势为E1,CL 由电学知 E g Er di +f=qK dt dt 根据回路电压定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压降为0 d E-L Ri=o d t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
求电容器两两极板间电压 0 d d − − − Ri = C q t i E L 例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . uc 提示: 设电路中电流为 i(t), ∼~ ‖ L E R K C + q − q 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 , i EL 由电学知 根据回路电压定律: 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
化为关于u的方程注意 du C,故有 d t LC d uc+RC-C+uc=e snot d d t R 令B= R 2100S E 串联电路的振荡方程 K d=u E d22+2B duc too uC LO m sin o t d t 如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得 0+2B d +Oo 1 0 dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
L LC R 1 , 2 令 = 0 = t LC E u t u t u m C C C sin d d 2 d d 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 0 d d 2 d d 2 2 0 2 + + C = C C u t u t u ~ ‖ L E R K C + q − q i 2 2 d d t u LC C t u RC C d d + + uC E t = m sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于 uc 的方程: 故有