幂级数的性质 Abe第一定理:如果幂级数在点收敛,则当|xk5时幂级数绝 对收敛;如果幂级数在点n发散,则当|x>n时幂级数发散。 显然,这一结论已包含在定理103.1之中 定理10.3.3(Abel第二定理)设幂级数∑anx"的收敛半径为R, ()∑anx”在(R,R)上内闭一致收敛,即在任意闭区间[a,b]c (-RR)上一致收敛; (i)若在x=R收敛,则它在任意闭区间a,R]c(-R,R]上一致收 敛
定理 10.3.3 (Abel 第二定理) 设幂级数 n=0 n n a x 的收敛半径为 R， 则 (i) n=0 n n a x 在(-R，R)上内闭一致收敛，即在任意闭区间[a, b] (-R,R)上一致收敛； (ii) 若在 x = R 收敛，则它在任意闭区间[ , ] ( , ] a R R R − 上一致收 敛。 幂级数的性质 Abel 第一定理：如果幂级数在点 收敛，则当| | | | x 时幂级数绝 对收敛；如果幂级数在点 发散 ，则当| | | | x 时幂级数发散。 显然，这一结论已包含在定理 10.3.1 之中
证 ()记5=max{a|b},对一切x∈[a,b,成立 anx"≤la 由于15kR,所以∑|an5"收敛,由 Weierstrass判别法,可知∑anx"在 [a,b]上一致收敛
证 (i) 记 = max | |, | | a b ，对一切 x∈[a, b]，成立 n n a x n an . 由于| | R，所以 0 | | n n n a = 收敛，由 Weierstrass 判别法，可知 n=0 n n a x 在 [a, b] 上一致收敛