例10.31幂级数∑x,∑x,∑mx+1y的收敛半径都是 n=1 n=1 R=1。 ∑x的收敛域是F1,1∑(x=)的收敛域是02];∑nx+1 n=1 的收敛域是(-2,0)。 例10.32考察幂级数∑ [2+(-1)" 的收敛情况。 解因为 2+(-1) n→① 所以收敛半径为R 读者可以自己证明:当x=1+R=5与x=1-R=时,幂级数都 2 是发散的。因此它的收敛域是(.5)。 66
例 10.3.2 考察幂级数 = − + − 0 2 [2 ( 1) ] 1 n n n n x n 的收敛情况。 解 因为 n→ lim n n n n [2 + (−1) ] = 3， 所以收敛半径为 R = 3 1 。 读者可以自己证明：当 x = + 2 1 R = 6 5 与 x = − 2 1 R = 6 1 时，幂级数都 是发散的。因此它的收敛域是 6 5 , 6 1 。 例 10.3.1 幂级数 n=1 n n x ， = − 1 2 ( 1) n n n x ， = + 1 ( 1) n n n x 的收敛半径都是 R = 1。 n=1 n n x 的收敛域是[-1,1)； = − 1 2 ( 1) n n n x 的收敛域是[0,2]； = + 1 ( 1) n n n x 的收敛域是(-2,0)
在判断数项级数的收敛性时,除了 Cauchy判别法,还有 D'Alembert判别法,下面的定理就是 D'Alembert判别法在幂级数上的 应用 定理10.32( D'Alembert判别法)如果对幂级数∑anx成立 m n→>0a 则此幂级数的收敛半径为R A 定理的证明包含在引理9.3.1给出的不等式 im叫≤myan|≤hmn《an| s lim an+ n→) n→ n→ 中
在判断数项级数的收敛性时，除了 Cauchy 判别法，还有 D'Alembert 判别法，下面的定理就是 D'Alembert 判别法在幂级数上的 应用。 定理 10.3.2 (D'Alembert 判别法) 如果对幂级数 n=0 n n a x 成立 n→ lim n n a a +1 = A， 则此幂级数的收敛半径为 R = A 1 。 定理的证明包含在引理 9.3.1 给出的不等式 n→ lim + n n a a 1 n→ lim n |an | n→ lim n |an | n→ lim n n a a +1 中
例10.3.3考察幂级数 x的收敛情况。 解因为 (n+1) +1 lim lm(+1) n→)∞ 所以收敛半径为R=1。 e 当x=时,∑x是正项级数,由 Stirling公式(例95), e gon 2πn2e 可知∑”x“在x=时发散 n=0n1
例 10.3.3 考察幂级数 =0 ! n n n x n n 的收敛情况。 解 因为 n→ lim n n a a +1 = n→ lim ! ( 1)! ( 1) 1 n n n n n n + + + = e， 所以收敛半径为 R = e 1 。 当 x = e 1 时， =0 ! n n n x n n 是正项级数，由 Stirling 公式（例 9.5.5）， n n x n n ! ～ n n n n n − + 2 e 2 1 e 1 = 2n 1 ( n →) 可知 =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 时发散；
∑x"是交错级数,由于 (n+1) (n+D)1 且 0(n->∞) T 可知∑”x"在x=-时是 Leibniz级数,所以收敛 n=0 n 综上所述,∑x的收敛域是
当 x = e 1 − ， =0 ! n n n x n n 是交错级数，由于 n n n n x n n x n n ! ( 1)! ( 1) 1 1 + + + + = e 1 1 1 1 + n n 且 n n x n n ! ～ 0 2 1 → n ( n →)， 可知 =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 − 时是 Leibniz 级数，所以收敛。 综上所述， =0 ! n n n x n n 的收敛域是 1 1 , e e −
幂级数的性质 Abe第一定理:如果幂级数在点收敛,则当|xk5时幂级数绝 对收敛;如果幂级数在点n发散,则当|x>n时幂级数发散。 显然,这一结论已包含在定理103.1之中
幂级数的性质 Abel 第一定理：如果幂级数在点 收敛，则当| | | | x 时幂级数绝 对收敛；如果幂级数在点 发散 ，则当| | | | x 时幂级数发散。 显然，这一结论已包含在定理 10.3.1 之中