§5.1. FOURIER级数 6/67圆 (51-3)中的展开系数一 Fourier系数为 kE f()cosde 5.1-5) f(s)sin kIE 式(51-4)和(51-5)中, k≠0 5.1-6) 2,k=0 称为δ符号 设0=Z=,则上面的讨论可表示为更明显的具有周期性的问 题 f(x)=a0+> ak coS kox + bk sin kox ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 6/67 (5.1-3 )¥ÐmXê— Fourier X. ê. . ak = 1 δk` Z ` −` f(ξ) cos kπξ ` dξ, bk = 1 ` Z ` −` f(ξ) sin kπξ ` dξ. (5.1-5) ª(5.1-4)Ú(5.1-5)¥§ δ = ( 1, k , 0 2, k = 0 (5.1-6) ¡. . δ Î. Ò. © ω = 2π 2` = π `§Kþ¡?ØL«²wäk±Ï5¯ K f(x) = a0 + X ∞ k=1 ak cos kωx + bk sin kωx
§5.1. FOURIER级数 7/67圆 5.12 Dirichlet定理- Fourier级数的收敛性判据* 若函数f(x)满足条件:(1)处处连续或在每个周期中只有有限 个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值点,则 Fourier级数(51-3)收敛,且 f(r) (在连续点)x, 级数和 5.1-7) 2(x+0)+f(x-0)(在间断点x 证明:需要较多的数学知识,略去 513奇偶函数的 Fourier展开 如果周期函数f(x)是奇函数或偶函数,则其 Fourier展开式也必 须是奇函数或偶函数,因而其 Fourier系数ak或bk为零,相应的 Fourier级数分别是 Fourier正弦或余弦级数 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 7/67 5.1.2 Dirichlet ½n—Fourier ?êÂñ5â∗ e¼ê f(x) ÷v^µ£¬¤??ëY½3z±Ï¥kk 1amä:¶£¤3z±Ï¥kk4:§K Fourier ?ê(5.1-3)Âñ§ ?êÚ = f(x) (3ëY:)x, 1 2 {f(x + 0) + f(x − 0)} (3mä:)x. (5.1-7) y²µIõêÆ£§Ñ© 5.1.3 Ûó¼ê Fourier Ðm X. J. ±. Ï. ¼. ê. f(x) ´. Û. ¼. ê. ½. ó. ¼. ê. §K. Ù. Fourier Ð. m. ª. . 7. L. ´. Û. ¼. ê. ½. ó. ¼. ê. §Ï. . Ù. Fourier X. ê. ak ½. bk . ". §. A. . Fourier ?. ê. ©. O. ´. Fourier . u. ½. {. u. ?. ê. ©
§5.1. FOURIER级数 8/67圆 8f(x)为奇函数时: f(x)=∑b k ok sin 5.1-8) b f() i da 5.1-9) Sf(x)为偶函数时 f(x)=ao+∑acsn (5.1-10) k=1 (E) cOS kx三d (5.1-11) 514非周期函数的 Fourier级数展开—延拓法 对于只在有限区间,例如在(0,O)上有定义的函数f(x),可以采 取延拓的方法,使其成为某种周期函数g(x),而在(0,D) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 8/67 ✿ f(x) Û¼êµ ~ f(x) = X ∞ k=1 bk sin kπξ ` , (5.1-8) ~ bk = 2 ` Z ` 0 f(ξ) sin kπξ ` dξ. (5.1-9) ✿ f(x) ó¼êµ ~ f(x) = a0 + X ∞ k=1 ak cos kπξ ` , (5.1-10) ~ ak = 2 δk` Z ` 0 f(ξ) cos kπξ ` dξ. (5.1-11) 5.1.4 ±Ï¼ê Fourier ?êÐm—òÿ{ éu3k«m§~X3 (0, `) þk½Â¼ê f(x))§±æ òÿ{§¦Ù¤,«±Ï¼ê g(x)§ 3 (0, `)
§5.1. FOURIER级数 9/67回 上,g(x)≡∫(x).然后再对f(x)作 Fourier级数展开,其级数和在区 间(0,D)上代表f(x) 由于f(x)在(0,D)外无定义,因此,可以有无数种延拓方式,因 而有无数种展开式,但它们在(0,0)上均代表f(x).实际问题中,常 常存在一定的条件(环境和边界等),如在区间的端点固定或自由, 由此决定了(限制)了延拓的方式.例如要求 f(0)=f(O)=0=:奇延拓, ∫(0)=f(D)=0=:偶延拓 非周期函数的 Fourier级数展开在工程技术上有重要的应用价 值,下节将予以专门讨论 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 9/67 þ§g(x) ≡ f(x)©,2é f(x) Fourier ?êÐm§Ù?êÚ3« m (0, `) þL f(x)© du f(x) 3 (0, `) ý§Ïd§±kÃê«òÿª§Ï kÃê«Ðmª§§3 (0, `) þþL f(x)©¢S¯K¥§~ ~3½^£¸Ú>. ¤§X3«mà:½½gd§ ddû½ £¤ òÿª©~X¦ f(0) = f(`) = 0 =:Ûòÿ, f 0 (0) = f 0 (`) = 0 =:óòÿ. ±Ï¼ê Fourier ?êÐm3ó§EâþkA^d §e!ò±;?Ø©
§5.1. FOURIER级数 10/67回 5.15复数形式的 Fourier级数 取复指数函数族 e-i,…,e-1,e-,1,e",e,…,e, (51-12) 作为基本函数系,并利用 Euler公式 cos 0+isin 0 cos 0 i sin e i 2i 可将前面的周期函数f(x)的 Fourier级数展开式(51-3)改写为复数形 式 f(x)=Co+∑(Ce k=1 k-ib k+ibk 2 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 10/67 5.1.5 Eê/ª Fourier ?ê Eê¼êx · · · , e −i kπx ` , · · · , e −i 2πx ` , e −i πx ` , 1, e i pix ` , e i 2πx ` , · · · , e i kπx ` , (5.1-12) Ä ¼êX§¿|^ Euler úª e iθ = cos θ + i sin θ, cos θ = 1 2 e iθ + e −iθ , sin θ = 1 2i e iθ − e −iθ . òc¡±Ï¼ê f(x) Fourier ?êÐmª(5.1-3)UEê/ ª f(x) = C0 + X ∞ k=1 Cke ikωx + C−ke −ikωx C0 = a0, Ck = ak − ibk 2 , C−k = ak + ibk 2 ©