(5)积分区域如图阴影部分 P(X<Y 5.设二维随机向量(x,Y)的联合概率密度为 f(,y= ∫x2+xy,0≤xs10≤y≤2 0 其它 试求:(1)(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度 2)PIX<lY 解(1)当0≤x≤1时,有 1(x)=厂(xy)=(x2+号x)b=2x2+3x 当x<0或x>1时,有f1(x)=0 所以(x,Y)关于X的边缘概率密度为 (0)22x,0≤x≤1 其它 同理可得(X,Y)关于Y的边缘概率密度为 (y)=3+6,0sys2 其它 (2)由条件概率的定义知 P[X<1,Y< X<|Y<
26 （5）积分区域如图阴影部分 P(X Y) + + − + = 0 ( 2 ) 2 x x y dx e dy + − + − − + = = − 0 3 0 0 2 ( ) e dx e e dx x x y = 3 1 . 5．设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率密度为 + = 0, 其它。 , 0 1,0 2; 3 1 ( , ) 2 x x y x y f x y 试求：（1） (X,Y) 关于 X 、Y 的边缘概率密度； （2） 2 1 | 2 1 P X Y . 解 （1）当 0 x 1 时，有 f x f x y dy x x y dy x x 3 2 ) 2 3 1 ( ) ( , ) ( 2 2 0 2 1 = = + = + + − ； 当 x 0或x 1 时，有 f 1 (x) = 0 . 所以 (X,Y) 关于 X 的边缘概率密度为 + = 0, 其它。 , 0 1; 3 2 2 ( ) 2 1 x x x f x 同理可得 (X,Y) 关于 Y 的边缘概率密度为 + = 0, 其它。 , 0 2; 6 1 3 1 ( ) 2 y y f y （2）由条件概率的定义知 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 , 2 1 2 1 | 2 1 = P Y P X Y P X Y 而 x o y y=x
P(x<,y<1)=[(x2+3xy地=5 dx2( 于是 = 6.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 x>0. ∫(x,y) 0,其它 试求:(1)(x,Y)关于X、Y的边缘概率密度; (2)P(X>2,Y<4) 解(1)当x>0时,有 f(x)=(xy)=ed=e” 当x≤0时,有f(x)=0 所以(x,Y)关于X的边缘概率密度为 0,x≤0 同理当y>0时,有 f(x)=f(x, y)dy=Se"d 当y≤0时,有f2(x)=0 所以(x,Y)关于Y的边缘概率密度为 >0. f2(y) 0 ≤0. (2)P(X>2y<4)=[4∫eh=e2-3e 7.某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室 会面,并约定先到者等20分钟后即可离去,试求二人能会面的概率 解记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为12点X分与12点Y分 依题可假定(X,Y)服从区域 D={(x,y)O≤x≤600≤y≤60}
27 ( )= 2 1 , 2 1 P X Y 192 5 ) 3 1 ( 2 1 0 2 1 0 2 + = dx x xy dy ； ( )= 2 1 P Y 48 9 ) 3 1 ( 1 0 2 1 0 2 + = dx x xy dy ； 于是 ( ) 36 5 48 9 192 5 2 1 | 2 1 P X Y = = . 6．设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率密度为 = − 0, 其它。 , 0, ; ( , ) e x y x f x y y 试求：（1） (X,Y) 关于 X 、Y 的边缘概率密度； （2） P(X 2,Y 4). 解 （1）当 x 0 时，有 x x y f x f x y dy e dy e − + − + − = = = ( ) ( , ) 1 ； 当 x 0 时，有 f 1 (x) = 0 . 所以 (X,Y) 关于 X 的边缘概率密度为 = − 0, 0。 , 0; ( ) 1 x e x f x x 同理当 y 0 时，有 y y y f x f x y dy e dx ye − − + − = = = 0 2 ( ) ( , ) ； 当 y 0 时，有 f 2 (x) = 0. 所以 (X,Y) 关于 Y 的边缘概率密度为 = − 0, 0. , 0; ( ) 2 y ye y f y y （2） P(X 2,Y 4) = = − 4 2 4 x y dx e dy 2 4 3 − − e − e . 7. 某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午 12 点至下午 1 点在办公室 会面，并约定先到者等 20 分钟后即可离去，试求二人能会面的概率。 解 记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为 12 点 X 分与 12 点 Y 分。 依题可假定 (X,Y) 服从区域 D = (x, y) 0 x 60,0 y 60,