§5.1大数定律 上述定理中要求随机变量X,X2,…的方差存在. 但这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这 一要求，我们有以下的定理。 弱大数定理（辛软定理） 设随机变量X1,X2,,Xm…相互独立，服从同一 分布，且具有数学期望E(Xk)=u(k=1,2,…),则对于 任意正数6，有 =g2-4-1 即序列=∑X依概率收敛于山，灭”→4 k=1 12/41
12/41 上述定理中要求随机变量X1 ,X2 ,...的方差存在. 但这些随机变量服从相同分布的场合, 并不需要这 一要求, 我们有以下的定理. 1 1 lim 1 = − = → m n k k n X n P = = n k Xk n X 1 1 弱大数定理(辛钦定理) 设随机变量X1 ,X2 ,...,Xn ,...相互独立, 服从同一 分布, 且具有数学期望E(Xk )=μ (k=1,2,...), 则对于 任意正数, 有 §5.1 大数定律 即序列 依概率收敛于μ， ⎯→ m P X
§5.1大数定律 伯努利大数定理（辛钦定理的推论） 设n4是n次独立重复试验中事件A发生的次数. 卫是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正 数≥0，有 熙{；-小小1胶胆。-0 证因为n4~b(np),且根据第四章中随机变量分解的思 想，有n4=X1+X2++Xm,其中，X1,X2,,Xm相互独立， 且都服从以p为参数的(0-1)分布， 1,在第次实验中事件拟发生 0,在第次实验中事件不发生 13/41
13/41 伯努利大数定理(辛钦定理的推论) 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对于任意正 数>0, 有 lim = 1 − → p n n P A n 或 lim = 0 − → p n n P A n §5.1 大数定律 证 因为nA~b(n,p), 且根据第四章中随机变量分解的思 想, 有 nA=X1+X2+...+Xn , 其中, X1 ,X2 ,...,Xn相互独立, 且都服从以p为参数的(0-1)分布， Xi= ，在 第 次实验中事件 不发生 在 第 次实验中事件 发 生 A A 0 i 1, i
§5.1大数定律 因而EXk)=P,DXk=p(1-p)(k=1,2,,m),由定理一得 即 ▣P-水e-i 伯努利大数定理表明，事件发生的频率n/n依概率收敛 于事件的概率，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概 率的合理性 近似：当n很大时，事件发生的频率n4/n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不 发生，当试验次数很大时，可以用事件的频率来代替事件的 概率 14/41
14/41 lim 1. ( ) 1, 1 lim 1 2 = − = + + + − → → p n n P X X X p n P A n n n 即 §5.1 大数定律 因而E(Xk )=p, D(Xk )=p(1-p) (k=1,2,...,n)，由定理一得 伯努利大数定理表明，事件发生的频率nA /n依概率收敛 于事件的概率p，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概 率的合理性 近似：当n很大时，事件发生的频率nA /n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不 发生，当试验次数很大时，可以用事件的频率来代替事件的 概率