线上问题解答17
17 线上问题解答
例7-4.（天津大学，2007年）设V是数域P上的线性空间，V=W1?W2Q1,2分别是W1，W2上的线性变换，定义法则如下: (α1 + α2) = 21(α) - 32(α2), Vα1 E W1, α2 EW2证明：是V上的线性变换证明：解题思路：首先说明是V上的变换，再用线性变换的定义或判断定理任取α EV，因V= W1 W2所以存在唯一的αEW1,α2 EW2，使得α=α1+ α2.又因o1,02分别是W1，W2上的线性变换，因此21(α1）EW1—32(α2) E W2. 进而有(α) = (α + α2) = 21(α) -3α2(α2）EV且唯一，于是对Vα EV，存在V中唯一的元素2(α1）一32(α2)与之对应，所以是V上的变换再任取βEV，则存在唯一的β1EW1，β2 EW2，使得β=β1+β2于是α1+β1EW1,α2+β2EW2，而1,02分别是W1,W2上的线性变换，且α+β=(α1＋ α2）+(β1+ β2）=（α1+β1）+(α2 +β2)
例7-4.（天津大学, 2007年）设𝑽是数域𝑷上的线性空间，𝑽 = 𝑾𝟏 ⊕ 𝑾𝟐，𝝈𝟏, 𝝈𝟐分别是𝑾𝟏, 𝑾𝟐上的线性变换，定义法则𝝈如下 ：𝝈 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 = 𝟐𝝈𝟏 𝜶𝟏 − 𝟑𝝈𝟐 𝜶𝟐 , ∀𝜶𝟏 ∈ 𝑾𝟏, 𝜶𝟐 ∈ 𝑾𝟐 证明：𝝈是𝑽上的线性变换. 证明：解题思路： 首先说明𝝈是𝑽上的变换，再用线性变换的定义 或判断定理. 任取𝜶 ∈ 𝑽，因𝑽 = 𝑾𝟏 ⊕ 𝑾𝟐，所以存在唯一的𝜶𝟏 ∈ 𝑾𝟏, 𝜶𝟐 ∈ 𝑾𝟐，使得𝜶 = 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐， 又因𝝈𝟏, 𝝈𝟐分别是𝑾𝟏, 𝑾𝟐上的线性变换，因此𝟐𝝈𝟏 𝜶𝟏 ∈ 𝑾𝟏， − 𝟑𝝈𝟐 𝜶𝟐 ∈ 𝑾𝟐，进而有𝝈 𝜶 = 𝝈 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 = 𝟐𝝈𝟏 𝜶𝟏 − 𝟑𝝈𝟐 𝜶𝟐 ∈ 𝑽且唯一，于是对∀𝜶 ∈ 𝑽，存在𝑽中唯一的元素 𝟐𝝈𝟏 𝜶𝟏 − 𝟑𝝈𝟐 𝜶𝟐 与之对应，所以𝝈是𝑽上的变换. 再任取𝜷 ∈ 𝑽，则存在唯一的𝜷𝟏 ∈ 𝑾𝟏, 𝜷𝟐 ∈ 𝑾𝟐，使得𝜷 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐，于是𝜶𝟏 + 𝜷𝟏 ∈ 𝑾𝟏，𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 ∈ 𝑾𝟐，而𝝈𝟏, 𝝈𝟐分别是𝑾𝟏, 𝑾𝟐 上的线性变换，且𝜶 + 𝜷 = 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 + 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 = 𝜶𝟏 + 𝜷𝟏 + 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐
所以(α + β) = 21(α1 + β) - 32(α2 + β2)= (21(α1) - 32(α2)) + (21(β1) - 32(β2))= g(α) + g(β);VkE P,有kα =kα1+kα2, kα1EW1, kα2EW2, 又1,02分别是W1，W2上的线性变换，得(kα) = (kα1 + kα2) = 21(kα) - 32(kα2) =k(2α1(α1) - 32(α2)) = k(α),因此命题成立
所以 𝝈 𝜶 + 𝜷 = 𝟐𝝈𝟏 𝜶𝟏 + 𝜷𝟏 − 𝟑𝝈𝟐 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 = 𝟐𝝈𝟏 𝜶𝟏 − 𝟑𝝈𝟐 𝜶𝟐 + 𝟐𝝈𝟏 𝜷𝟏 − 𝟑𝝈𝟐 𝜷𝟐 = 𝝈 𝜶 + 𝝈 𝜷 ； ∀𝒌 ∈ 𝑷，有𝒌𝜶 = 𝒌𝜶𝟏 + 𝒌𝜶𝟐, 𝒌𝜶𝟏 ∈ 𝑾𝟏, 𝒌𝜶𝟐 ∈ 𝑾𝟐，又𝝈𝟏, 𝝈𝟐 分别是𝑾𝟏, 𝑾𝟐上的线性变换，得 𝝈 𝒌𝜶 = 𝝈 𝒌𝜶𝟏 + 𝒌𝜶𝟐 = 𝟐𝝈𝟏 𝒌𝜶𝟏 − 𝟑𝝈𝟐 𝒌𝜶𝟐 = 𝒌 𝟐𝝈𝟏 𝜶𝟏 − 𝟑𝝈𝟐 𝜶𝟐 = 𝒌𝝈 𝜶 ， 因此命题成立
知识点2.线性变换的运算与矩阵例7-6.设α是线性空间R3上的线性变换，满足对任意的α=(x,y,z) E R3, 有:o(α) = (x+y, y+ z, z+x)求 在基α1 =(0,1,1), α2 = (1,0,1),α3 = (1,1,0)下的矩阵B.方法1：用线性变换的矩阵的定义设: (α1) = x11α1 +X12α2 +x13α3,(α2)=x21α1 +x22α2+x23α3,(α3)= x31α1 +x32α2+x33α3,X21x31)/X11么且那B =X12X22X32(X13X23X33//X11X21X31X22X12X32(α1,α2,α3)= (α(α', α(α2), α(α3)),(X13X33/X23
知识点2. 线性变换的运算与矩阵 例7-6. 设𝝈 是线性空间𝑹 𝟑上的线性变换，满足对任意的𝜶 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝑹 𝟑 ，有： 𝝈(𝜶) = (𝒙 + 𝒚, 𝒚 + 𝒛, 𝒛 + 𝒙) 求𝝈 在基𝜶𝟏 = (𝟎, 𝟏, 𝟏), 𝜶𝟐 = (𝟏, 𝟎, 𝟏),𝜶𝟑 = (𝟏, 𝟏, 𝟎)下的矩阵𝑩. 方法1 ：用线性变换的矩阵的定义. 设：𝝈 𝜶𝟏 = 𝒙𝟏𝟏𝜶𝟏 + 𝒙𝟏𝟐𝜶𝟐 + 𝒙𝟏𝟑𝜶𝟑， 𝝈 𝜶𝟐 = 𝒙𝟐𝟏𝜶𝟏 + 𝒙𝟐𝟐𝜶𝟐 + 𝒙𝟐𝟑𝜶𝟑， 𝝈 𝜶𝟑 = 𝒙𝟑𝟏𝜶𝟏 + 𝒙𝟑𝟐𝜶𝟐 + 𝒙𝟑𝟑𝜶𝟑， 那 么 𝑩 = 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟐𝟏 𝒙𝟑𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟐𝟐 𝒙𝟑𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟐𝟑 𝒙𝟑𝟑 ， 且 𝜶𝟏 ′ ,𝜶𝟐 ′ ,𝜶𝟑 ′ 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟐𝟏 𝒙𝟑𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟐𝟐 𝒙𝟑𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟐𝟑 𝒙𝟑𝟑 = 𝝈 𝜶𝟏 ′ , 𝝈 𝜶𝟐 ′ , 𝝈 𝜶𝟑 ′
由题设可知:(α)=(1,2,1),(α2）=(1,1,2),(α3)=于是有：(2, 1, 1),1X2112/0/X11X31)11X12X22101X32211=(10/(X131X23121X33/a3'a(α3)'a(α1α1α(α2)α21X21X31)1/X11/01/121得：B =021X12X22X32111二0/2(1(11/(X131X23X3310/101101/(1
由题设可知：𝝈 𝜶𝟏 = (𝟏, 𝟐, 𝟏), 𝝈 𝜶𝟐 = (𝟏, 𝟏, 𝟐), 𝝈 𝜶𝟑 = (𝟐, 𝟏, 𝟏)，于是有： 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝜶𝟏 ′ 𝜶𝟐 ′ 𝜶𝟑 ′ 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟐𝟏 𝒙𝟑𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟐𝟐 𝒙𝟑𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟐𝟑 𝒙𝟑𝟑 = 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝝈 𝜶𝟏 ′ 𝝈 𝜶𝟐 ′ 𝝈 𝜶𝟑 ′ 得 ： 𝑩 = 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟐𝟏 𝒙𝟑𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟐𝟐 𝒙𝟑𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟐𝟑 𝒙𝟑𝟑 = 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 −𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 = 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 ；