命题．设,&2，8,是线性空间V的一组基，如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即-i=1,2,....n.A&,=B,那么A=B.证明A与B相等的意义是它们对每个向量的作用相同.因此，我们就是要证明对任一向量，等式A_成立，而由(2）及假设，即得A=e)+x)++A(8,=xB(e)+x, B(c,)+.+x, B(8,)7
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结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.←8
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定理1设1,2,En是线性空间V的一组基，α1,α2,α是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使Ai=αii = 1,2,..,n.分析证明思路：1）存在性对任意的α1,α2,,αn一定有一个线性变换A使i= 1,2,..,nAεi=αi2）唯一性：若存在线性变换B与A在这组基上的作用相同，即i= 1,2,,nAB;=BEi'那么A=B
定理1 设𝜺𝟏, 𝜺𝟐, ⋯ , 𝜺𝒏是线性空间𝑽的一组基，𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒏是𝑽中 任意𝒏个向量.存在唯一的线性变换A使 A𝜺𝒊=𝜶𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏. 分析证明思路： 1）存在性 对任意的𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒏一定有一个线性变换A使 A 𝜺𝒊=𝜶𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏. 2）唯一性：若存在线性变换ℬ与A在这组基上的作用相同， 即 A𝜺𝒊=B𝜺𝒊， 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏, 那么A= B
S7.3线性变换的矩阵第七章线性变换证明我们来作出所要的线性变换，设一nxs,5=Zi1是线性空间V中的任意一个向量，一我们定义V的变换一nA为A=x,α;i1L
第七章 线性变换 §7.3 线性变换的矩阵
S7.3线性变换的矩阵第七章线性变换下面来证明变换A是线性的。在V中任取两个向量nnβ=Zb,e,4=C,8i=1i=1
第七章 线性变换 §7.3 线性变换的矩阵