方法2.截面法(“先二后一”） (x,y)∈D b a≤z≤b 以D为底，dz为高的柱形薄片质量为 a (∬nfx,yz)dxdy)da 该物体的质量为 面密度 fdv f(x,y,=)dz -)dxd)d- t∫ajo,八，dd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 ( = b a DZ f (x, y,z)d x d y DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz f (x, y,z)d z 面密度≈ )dz 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法3.三次积分法 21(x,y)≤z≤22(x,y) 设区域Ω： eD27分2w a≤x≤b 利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得 f)dy a dy 投影法 ddyd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
投影法 方法3. 三次积分法 设区域 : 利用投影法结果 , a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y z z x y 把二重积分化成二次积分即得: = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z ( ) ( ) 2 1 d y x y x y = b a dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结：三重积分的计算方法 方法1.“先一后二” 7儿d- 方法2.“先二后一” j∬。fxy,a)dv=d-∬.f(x.)dxdy 方法3.“三次积分” v-aa 三种方法（包含12种形式）各有特点，具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.计算三重积分 0。xdxdyd:,其中2为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y 解：2：0≤y≤2(1-x) 0≤x≤1 J川xdxdyd:. =jxdx-ay。-d =6xdx-0-x-20 =4x-2x2+x2a= 8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 计算三重积分 d d d , 其中 为三个坐标 x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解: : x d x d y d z − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y −x− y z 1 2 0 d = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0 z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1 y − x 0 x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束