例141.1计算/=」eds,其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x 及x轴在第一象限所围图形的边界 解 ds t + e 2+2 AB 线段OA的方程为y=x0≤x≤a/2,所以 圆弧AB的参数方程为x=acos,y=asin0,0≤0≤m/4,所以 /4 d0==ae 线段OB的方程为y=0,0≤x≤a,所以 √2 = e 因此 =2(e-1)+a B 图14.1.2
解 2 2 2 2 2 2 e d e d e d x y x y x y OA OB AB I s s s + + + = + + 。 线段OA 的方程为 y = x,0 x a 2 ，所以 2 2 2 2 0 e d e 2d e 1 a x y x a OA s x + = = − 。 圆弧 AB的参数方程为x a y a = = cos , sin , 0 π 4，所以 2 2 π 4 0 π e d e d e 4 x y a a AB s a a + = = 。 线段OB 的方程为 y x a = 0, 0 ，所以 2 2 0 e d e d e 1 a x y x a OB s x + = = − 。 因此 a a I a e 4 2(e 1) = − + 。 A O B x y a 图14.1.2 例 14.1.1 计算 2 2 e d x y L I s + = ，其中L 为圆周 x y a 2 2 2 + = ，直线 y = x 及 x 轴在第一象限所围图形的边界
例14.1.2已知一条非均匀金属线L的方程为 x=e'cost,y=e'snt,z=e′,0≤t≤1, 它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比,而且在点 (1,0,1)处的线密度为1。求它的质量M
例 14.1.2 已知一条非均匀金属线 L 的方程为 x = e cost, y = e sin t, z = e , 0 t 1 t t t ， 它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点 (1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M
例14.1.2已知一条非均匀金属线L的方程为 x=e'cost,y=e'snt,z=e′,0≤t≤1, 它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比,而且在点 (1,0,1)处的线密度为1。求它的质量M 解由题意,L在(x,y,2)点的线密度为 k k x2+y2+z22 其中k为常数。由p(,0,1)=1得k=2,所以p(x,y,=)=e-。因此 M=P(x, J, =ds=SelvBe'dt =v3e dt=v30l-e')
解 由题意， L 在 (x, y,z) 点的线密度为 2 2 2 2t k x y z k x y z 2e ( , , ) = + + = ， 其中k 为常数。由 (1,0,1) = 1得k = 2 ，所以 t x y z 2 ( , , ) e − = 。因此 1 1 2 1 0 0 ( , , )d e 3e d 3 e d 3(1 e ) t t t L M x y z s t t − − − = = = = − 。 例 14.1.2 已知一条非均匀金属线 L 的方程为 x = e cost, y = e sin t, z = e , 0 t 1 t t t ， 它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点 (1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M
例14.1.3计算/=(x2+y2+2)ds,其中L为球面x2+y2+=2=a2 和平面x+y+z=0的交线
例 14.1.3 计算 2 2 ( 2 )d L I x y z s = + + ，其中L 为球面 x y z a 2 2 2 2 + + = 和平面x + y + z = 0的交线
例14.1.3计算/=(x2+y2+2)ds,其中L为球面x2+y2+=2=a2 和平面x+y+z=0的交线 解由对称性得 (x +y+z )ds o 由于在L上成立x2+y2+2=a2,且L是一个半径为a的圆周,因此 (x +y+2ds=ads=a ds= 2Ta 同理 xds=[uds=「zds x+y+z)d 0ds=0 于是 4 I=I(x+y+2z)ds=xs+lyds+2 zds=ta
解 由对称性得 2 2 2 2 2 2 1 d d d ( )d 3 L L L L x s y s z s x y z s = = = + + 。 由于在L 上成立x y z a 2 2 2 2 + + = ，且L 是一个半径为a的圆周，因此 2 2 2 2 2 3 ( )d d d 2π L L L x y z s a s a s a + + = = = 。 同理 1 1 d d d ( )d 0d 0 3 3 L L L L L x s y s z s x y z s s = = = + + = = 。 于是 2 2 2 2 3 4 ( 2 )d d 2 d π 3 L L L L I x y z s x s y s z s a = + + = + + = 。 例 14.1.3 计算 2 2 ( 2 )d L I x y z s = + + ，其中L 为球面 x y z a 2 2 2 2 + + = 和平面x + y + z = 0的交线