现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x=x(1),y=y(t) ≤t≤B 其中x(),y(),x(x)具有连续导数,且x(.,y1(,=()不同时为零(即L为光 滑曲线),那么L是可求长的,且曲线的弧长为 Vx2(t)+y2(t)+z"(dt。 定理14.1.1设L为光滑曲线,函数f(x,y,)在L上连续。则f(x,y,) 在L上的第一类曲线积分存在,且 f(x, y, =)ds=/ f(x(),y(,-()√x2(m)+y2(t)+z"(t)d
定理 14.1.1 设 L 为光滑曲线，函数 f (x, y,z)在 L 上连续。则 f (x, y,z) 在L 上的第一类曲线积分存在，且 2 2 2 ( , , )d ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d L f x y z s f x t y t z t x t y t z t t = + + 。 现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L 的方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ， 其中x(t), y(t), z(t) 具有连续导数，且 x (t), y (t), z (t) 不同时为零（即L 为光 滑曲线），那么L 是可求长的，且曲线的弧长为 2 2 2 s x t y t z t t ( ) ( ) ( )d = + +
证记 =f(x(1)y(,x()√x2(t)+y()+z2()dr 作区间a,月的划分P:a=b≤<2<…<1n=B,在L上顺次插入分 点P(x(1),y(1),=()(=12,…,n-1),并设P=(x(a),y(a),=(a), P=(x(B,y(B,=(B)。记小弧段P1P的长度为△,那么它的弧长为 x2()+y2()+()dr。令 d=∑f(x(5),y(5),(5)△s, 其中(x()y()x(5)为弧段P1P上任意一点。那么 -1=∑f(x(5)y(4)25)A-mf(x(y)()x()+y(+=2(d ∑[(x)5:4)-(O0)=)小x(0)+y2()+=0
证 记 2 2 2 I f x t y t z t x t y t z t t ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d = + + 。 作区间[ , ] 的划分 0 1 2 P t t t : = t n = ， 在 L 上顺次插入分 点 P (x(t ), y(t ),z(t )) (i =1,2, ,n −1) i i i i ，并设 ( ( ), ( ), ( )) P0 = x y z ， P (x(), y(),z()) n = 。记小弧段 Pi−1 Pi 的长度为 i s ，那么它的弧长为 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )d t i i t i s x t y t z t t − = + + 。令 = = n i i i i i f x y z s 1 ( ( ), ( ), ( )) ， 其中( ( ), ( ), ( )) i i i x y z 为弧段Pi−1 Pi 上任意一点。那么 2 2 2 1 2 2 2 1 1 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d n i i i i i n t i i i i t i i I f x y z s f x t y t z t x t y t z t t f x y z f x t y t z t x t y t z t t = = − − = − + + = − + +
设L的弧长为s。由于f(x,y,2)在紧集L上连续,因此一致连续 所以对任意给定的正数E,当=mx(△s,)充分小时,f(x,y,)在每个 弧段PP上的振幅均小于5/。于是成立 小∑,(x,y(,=(5)-f(x0y=()y(+y2()+=0)d l=17-1 E J√x(0)+y()+=(0=s S 从而得到 f(x, y, z)ds= limo=1 →0
设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y,z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数 ，当 = max ( i s )充分小时， f (x, y,z)在每个 弧段Pi−1 Pi 上的振幅均小于 s 。于是成立 2 2 2 1 1 2 2 2 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n t i i i i t i i I f x y z f x t y t z t x t y t z t t x t y t z t t s s s = − − − + + + + = = 。 从而得到 ( , , )d L f x y z s = lim → = 0 I
设L的弧长为s。由于f(x,y,z)在紧集L上连续,因此一致连续。 所以对任意给定的正数E,当x=mx(△s,)充分小时,f(x,y,z)在每个 弧段PP上的振幅均小于%。于是成立 a-1∑(x),y(5)2(5)-(xO(0,0)Vx()+y2()+=°(d x2()+y2()+()dt=s=E 从而得到 f(x,y,z)ds=lima=1。 特别地,如果平面光滑曲线L的方程为 y=y(x),a≤x≤b ff(x, y)ds=lf(, y(x)/+y2(x)dx
特别地，如果平面光滑曲线 L 的方程为 y = y(x), a x b， 则 2 ( , )d ( , ( )) 1 ( )d b a L f x y s f x y x y x x = + 。 设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y,z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数 ，当 = max ( i s )充分小时， f (x, y,z)在每个 弧段Pi−1 Pi 上的振幅均小于 s 。于是成立 2 2 2 1 1 2 2 2 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n t i i i i t i i I f x y z f x t y t z t x t y t z t t x t y t z t t s s s = − − − + + + + = = 。 从而得到 ( , , )d L f x y z s = lim → = 0 I
例141.1计算/=」eds,其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x 及x轴在第一象限所围图形的边界 B 图14.1.2
A O B x y a 图14.1.2 例 14.1.1 计算 2 2 e d x y L I s + = ，其中L 为圆周 x y a 2 2 2 + = ，直线 y = x 及 x 轴在第一象限所围图形的边界