曲面的面积 设曲面∑的方程为 x=x(u,v),y=y(u,v), 2=(u,v), (u,vED, r(u,v)=x(u,vi+y(u,vj+z(u, v)k, (u,vED 这里D为w平面上具有光滑(或分段光滑)边界的有界闭区域。假设 这个映射是一一对应的(这样的曲面称为简单曲面),且x,y,对v和v 有连续偏导数,相应的 Jacobi矩阵 ax ax aaa 满秩,则曲面∑是光滑的
曲面的面积 设曲面∑的方程为 x = x(u,v),y = y(u,v),z = z(u,v) ， ( , ) u v D ， 即 r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v) j + z(u,v)k ， ( , ) u v D ， 这里D为uv平面上具有光滑（或分段光滑）边界的有界闭区域。假设 这个映射是一一对应的（这样的曲面称为简单曲面），且x, y,z 对u和v 有连续偏导数，相应的 Jacobi 矩阵 = v z u z v y u y v x u x J 满秩，则曲面∑是光滑的
先看一下这个假设的几何意义:对曲面上任一点 @(xo, yo, 2o)(xo=x(uo,vo), yo=y(uo, v) 20==(uo, vo)) 曲线rn,10)=x(u,n)+y(u,v0)j+z(,n)就是曲面上过Q点的u-曲线; 曲线r(l0,)=x(un,n)+y(ln,)+(u0,)k就是曲面上过Q点的v-曲线 这两条曲线在O点的切向量分别为 r(,7)Q (uo, vo)j+(uo, vo)k r, (uo, vo)=o(uo,Vo)i+e(uo, vo)j+ l.y
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点 ( , , ) 0 0 0 Q x y z （ 0 0 0 x x u v = ( , ), 0 0 0 0 0 0 y y u v z z u v = = ( , ), ( , ) ）， 曲线 r( , ) ( , )i 0 0 u v = x u v ( , ) j 0 + y u v + z(u,v0 )k 就是曲面上过Q点的u −曲线； 曲线r( , ) ( , )i 0 0 u v = x u v ( , ) j 0 + y u v + z(u0 ,v)k 就是曲面上过Q点的v −曲线。 这两条曲线在Q点的切向量分别为 r ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )i ( 0 , 0 ) j (u0 ,v0 )k u z u v u y u v u x u v u + + = ， r ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )i ( 0 , 0 ) j (u0 ,v0 )k v z u v v y u v v x u v v + + =