判别、Snmx 例1 (x∈R),的敛散性 n=」 并求其收敛域 解 sin nx 1 2 (x∈R) 又∑2是P=2的P级数,当x∈R时,它收放 n=1 所求收敛域为 故∑ sIn nx (x∈R)收敛 00.+ 1= 即原级数在整个实数域上是绝对收敛的
( ), , sin 1 判别 2 x R 的敛散性 n nx n + = 并求其收敛域. ( ) sin 1 2 2 x R n n nx 2 , 1 1 又 2 是 P 的P 级数 n n = + = 当x R时, 它收敛, ( ) , sin 1 故 2 x R 收敛 n nx n + = 即原级数在整个实数域上是绝对收敛的. 所求收敛域为 (−, + ) 解 例1
例 判别)x"=1+x+x2+…+x"+ n=0 的敛散性,并求其收敛域 解这是等比级数 当|x|<1时,级数收敛,其和为S(x)= 当|x|>1时,级数发散 故该级数的收敛域为:X∈(-1,1) 金 要打开思路!
1 2 0 = + + ++ + + = n n n 判别 x x x x 的敛散性, 并求其收敛域. 这是等比级数. . 1 1 | | 1 , , ( ) x x S x − 当 时 级数收敛 其和为 = 当 | x |1 时, 级数发散. 故该级数的收敛域为: x (−1, 1). 要打开思路! 解 例2
几个问题 lim 2u,(x)=>lim u, (x) xoED? 如果∑u1(x)=S(x)x∈l, 若n(x)∈C(1),则S(x)∈C(1)? 在级数一致收敛的条件下,以上两个问题的 答案是:肯定成立
( ) ( ) , 1 u x S x x I n n = + = 如果 u (x) C( I ), S(x) C( I ) ? 若 n 则 lim ( ) lim ( ) 0 1 1 0 0 u x u x x D？ n n x x n n x x = + = → + = → 几个问题 在级数一致收敛的条件下, 以上两个问题的 答案是: 肯定成立
5.函数项级数的一致收敛性 致收敛性的定义 由定义:函数项级数 致收敛则必收敛 设∑v1(x)的收敛域为D,其部分和函数为S(x) 和函数为S(x) 若VE>0,彐N=N(E),当n>N时,有 Sn(x)-S(x)<E,x∈D 则称函数项级数∑un(x)在D上一致收敛于S(x) n=1 (其中,N()表示N为只依赖于E的正整数)
5. 函数项级数的一致收敛性 一致收敛性的定义 ( ) , ( ), 1 u x D S x n n 设 n 的收敛域为 其部分和函数为 + = 和函数为S(x). 若 0, N = N( ), 当n N 时, 有 | S (x) S(x) | , x D, n − ( ) ( ). 1 u x D S x n 则称函数项级数 n 在 上一致收敛于 + = (其中,N( )表示N为只依赖于 的正整数.) 由定义: 函数项级数 一致收敛则必收敛
由于函数项级数的部分和函数以及和函数 都是定义在收敛域D上的函数,故可以运用函 数极限中的柯西准则来判别函数项级数的一致 收敛性 请看书中的柯西收敛原理
由于函数项级数的部分和函数以及和函数 都是定义在收敛域 D 上的函数, 故可以运用函 数极限中的柯西准则来判别函数项级数的一致 收敛性. 请看书中的柯西收敛原理!