魏尔斯特拉斯利用正项级数的比较判别法 创建了一个十分有用和十分重要的一致收敛判 别法—魏尔斯特拉斯判别法 魏尔斯特拉斯判别法 若函数项级数∑1(x)在区间/上满足 1= (1)彐N>0,当n>N时,|ln(x)|≤an2x∈ (2)正项级数∑qn收鲛,关键! 则∑1(x)在/上一致收放 n=1 通常称∑an为∑u1(x)的优级数 n=1
魏尔斯特拉斯利用正项级数的比较判别法 创建了一个十分有用和十分重要的一致收敛判 别法——魏尔斯特拉斯判别法. 魏尔斯特拉斯判别法 ( ) : 1 若函数项级数 u x 在区间I 上满足 n n + = (1) N 0, n N , | u (x) | a , x I; 当 时 n n (2) , 1 正项级数 收敛 + n= an ( ) . 1 则 u x 在 I 上一致收敛 n n + = 关键! ( ) . 1 1 通常称 为 的优级数 + = + = n n n n a u x
例3证 sIn nx 在(-∞,1∞)上一致收敛 n+x 证因为当n≥1时,有 sin nx < x∈(-0,+C n+X n+x 优级数∑为P=2的卩-级数,是收敛的 n=1 故由魏尔斯特拉斯判别法可知 sin nx 2在(-,+∞)上一致收敛
证例3 ( , ) . sin 1 证明 2 2 在 − + 上一致收敛 + +n= n x nx 因为当 n 1 时, 有 2 , , 1 1 优级数 2 为 = 的 − 级数 是收敛的 += p p n n 故由魏尔斯特拉斯判别法可知, ( , ) . sin 1 2 2 在 − + 上一致收敛 + +n= n x nx , ( , ), sin 1 1 2 2 2 2 2 − + + + x n x n x n nx