(3)非零常数k乘以第后加到第行上 a1+kan|显然,A4中的行向量组 可以由A的行向量组线性表示 而A的行向量组可以由 A3中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价,所以行向量组的秩不变, 所以矩阵的行秩不变
6 （3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 i i i kr j j i m m A A k = ⎯⎯→ = + 显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变
引理2:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行) 证:设矩阵A经过初等行变换变为B, 即存在有限个初等矩阵P,P2,…,P 使得PP…PA=B 令P=PP…P则PA=B 把An按列分块,设Ann=(ax1,a2,…,an) 不妨设A的列向量组的极大无关组为av1,a2,…,Cr (可交换列的次序把它们换到前r列,矩阵的秩不变) 则PA=P(ax1,a2,…,an)=(Pa1,Pa2,…,Pan B
7 引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行） 证：设矩阵A经过初等行变换变为B， 即存在有限个初等矩阵 1 2 , , , P P PS 使得 P P P A B 1 2 S = 令 P P P P = 1 2 S 则 PA B = 把 A m n 按列分块，设 1 2 ( , , , ) A m n n = 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1 2 , , , , r （可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变） 则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) PA P P P P = = n n = B
下面证明A的列向量组的极大无关组C1,C2…,Cr 经过初等行变换变为Pa1,POa2,…,Pa, 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 (1)先证Pa1,Pa2,…,Par,线性无关。 设数k1,k2,…,k 使得k1Par1+k2Pa2+k,POn=0成立 P(K,a,+ k,a2+k, ar)=0 因为P为初等矩阵的乘积,所以P可逆。 .PP(K,a + k,a2+k, a)=po k,a1+k2a2+k,a1=0又a1,2;…,,线性无关 =k,=k,=0∴.Pa,,P ,…,Po线性无关
8 下面证明A的列向量组的极大无关组 1 2 , , , r 经过初等行变换变为 1 2 , , , P P P r 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 （1）先证 1 2 , , , P P P r 线性无关。 设数 1 2 , , , r k k k 使得 1 1 2 2 0 r r k P k P k P + + = 成立 1 1 2 2 ( ) 0 P k k k + + = r r 因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。 1 1 1 1 2 2 ( ) 0 P P k k k P r r − − + + = 1 1 2 2 0 r r + + = k k k 又 1 2 , , , r 线性无关 1 2 3 = = = k k k 0 1 2 , , , P P P r 线性无关
(2)再证B的列向量组中任一向量Pa 可由向量组PO1,Pa2,…,Pa,线性表示。 ∵1,C2,…,r1是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量a1都存在数1,l2,…,l 使得a,=x1+12+…+la 等号两边左乘P 有Pa1=l1Pax1+l2Pa2+…+lPa 由(1)(2)可知Pa1,Pa2,…,Par是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以,B的列秩=r=A的列秩
9 （2）再证B的列向量组中任一向量 P j 可由向量组 1 2 , , , P P P r 线性表示。 1 2 , , , r 是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量 1 2 , , , r j 都存在数 l l l 使得 j r r 1 1 2 2 = + + + l l l 等号两边左乘P 有 P l P l P l P j r r = + + + 1 1 2 2 由(1)(2)可知 1 2 , , , P P P r 是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以，B的列秩＝r＝A的列秩
综上,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理:矩阵的行秩=矩阵的列秩 证:任何矩阵A都可经过初等变换变为 形式, 而它的行秩为r,列秩也为r。 又,初等变换不改变矩阵的行秩与列秩, 所以,A的行秩=r=A的列秩 定义2:矩阵的行秩=矩阵的列秩,统称为矩阵的秩。 记为r(A),或 ranka,或秩A。 推论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
10 综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩 证：任何矩阵A都可经过初等变换变为 0 0 0 E r 形式， 而它的行秩为r，列秩也为r。 又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩＝r＝A的列秩 定义2：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA，或秩A。 推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩