P(z=2)=P(X=0,y=2)+P(X=1y=1) +P(X=2,y=0) 424 -+-×一+— 49494936 P(Z=3)=P(X=1,y=2)+P(X=2,Y=1) 412 494936 P(Z=4)=P(X=2,y=2) 4936 Z的分布律为: 201234 pz 613124 3636363636
P Z P X Y P X Y PX Y ( )( , )( , ) ( ,) = = = = + = = + == 2 0 2 11 2 0 =×+×+×= 1 4 4 9 2 4 4 9 1 4 1 9 13 36 PZ PX Y PX Y ( )( , )( , ) == = =+ = = 3 12 21 =×+×= 2 4 4 9 1 4 4 9 12 36 PZ PX Y ( )( , ) == = = 4 22 =×= 1 4 4 9 4 36 ∴ Z 的分布律为： Z 0 1 234 p Z 1 36 6 36 13 36 12 36 4 36
例2设X~P(4),y~P(),X与独立 求Z=X+Y的分布。 解:Z的一切可能取值为0,2,3 P(z=k)=>P(X=iP(Y=k-i) (41+2)k ∑4e e (k k ∑ k (41+2)k ∑C列 (k-m)4 k! (1+x2) k! +入 e P(1+2) 结论:独立的服从泊松分布的随机变量之和仍服从泊 松分布,且参数为前两个参数之和
例 2.设 X P ~() λ1 ，Y P ~() λ2 ， X 与Y 独立. 求Z = X + Y 的分布。 解： Z 的一切可能取值为0123 ,, ,," PZ k P X iPY k i i k ( ) ( )( ) = = = =− = ∑ 0 = ⋅ − − − = − ∑λ λ 1 2 λ λ 0 1 2 i k i i k i e k i e ! ( )! = − − + = − ∑ e k k ik i i i k k i ( ) ! ! !( )! λ λ λ λ 1 2 1 0 2 = − + = − ∑ e k Cki i i k k i ( ) ! λ λ λ λ 1 2 1 0 2 = + − + e k k ( ) ! ( ) λ λ λ λ 1 2 1 2 = + − + ( ) ! ( ) λ λ 1 2 λ λ 1 2 k k e ∴ Z P ~( ) λ1 2 + λ 结论：独立的服从泊松分布的随机变量之和仍服从泊 松分布，且参数为前两个参数之和
b连续 x+y=2 F()=P(5+≤2) x+1<z p(x, y)dxdy x+v<z dx p(x, y)dy X 上式两边对z求导: P2(z)= P(x, s-x)dx 同理:F(z)=吵上p(x,y) ∫ plz-y, y)dy ★若5与独立,则2(2)=n(x)n1(z-x)d 或者,P()=p2(2=y,P2
y b. 连续 x + y = z = ξ + η ≤ zPzF )()( ζ x + y < z ∫∫ ≤+ = zyx ),( dxdyyxp dyyxpdx xz ),( ∫∫ − ∞− +∞ ∞− = 0 x 上式两边对 z 求导： ∫ +∞∞− ζ = − ),()( dxxzxpzp . 同理： ∫∫ − ∞− +∞ ∞− = yz ζ )( ),( dxyxpdyzF ),()( dyyyzpzp ∫ +∞∞− ζ −= ★若 ξ 与 η 独立，则 ∫ +∞∞− = −⋅ xzpxpzp )()()( dx ζ ξ η 或者， ypyzpzp )()()( dy ∫ +∞∞− ζ ξ ⋅−= η
例3.与独立,且都服从a,a上的均匀分布, 求5=5+m的分布。 解 p(x,y)=p2(x)p2(y)=14a2 ≤a2|y 其它 方法一:从分布函数入手。0<≤2a 5+n的取值范围 在[2a,2a]。 ①z≤-2a,F2(x)=0 C a x (5<是不可能事件)12<s0
例 3.ξ 与η 独立，且都服从[ ,] −a a 上的均匀分布， 求ζ = ξ +η 的分布。 解： ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤≤ = = ,0 其它 ||,||, 41 )()(),( 2 ayax ηξ ypxpyxp a 方法一：从分布函数入手。 0<z ≤2a y z a = 2 ζ = ξ +η 的取值范围 a 在[ ,] −2 2 a a 。 z = 0 c z ≤ −2a ， zF = 0)( ζ − a o a x (∵ζ < z 是不可能事件) −a z a = −2 −2a<z≤0