第十八章隐函数定理及其应用 8.设f是一元函数,试问应对f提出什么条件,方程 2∫(xy)=∫(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y为x 的函数? 解设F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy),则 Fr=f(x)-2yf(xy), F,= f(y)-2xf(xy) 且F(1,1)=f(1)+f(1)-2f(1)=0 Fy(1,1)=f(1)-2f(1)=-f(1) 因此只需f(x)在x=1的某邻域内连续,则F,Fx,Fy在(1,1) 的某邻域内连续 所以,当∫(x)在x=1的某邻域内连续,且f(1)≠0时,方程 2∫(xy)=f(x)+f(y)就能唯一确定y为x的函数 S2隐函数组 1.试讨论方程组 在点(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(x),y=g(z)的隐函数 组? 解令F(x,y,x)=x2+y2-2,G(x,y,z)=x+y+z=2 则(I)F,G在点(1,-1,2)的某邻域内连续 (Ⅱ)F(1,-1,2)=0,G(1,-1,2)=0; (Ⅲ)Fz=2x,F=2y,F3=-z,G2=Gy=G12=1,均在点 (1,-1,2)的邻域内连续 (r)9(F,G F(1,-1,2)F(1,-1,2) G2(1,-1,2)Gy(1,-1,2) =4≠0 故由隐函数组定理,在点(1,-1,2)的附近所给方程组能确定形如 x=f(z),y=g(z)的隐函数组 472
§2隐函数组 2.求下列方程组所确定的隐函数组的导数 (1) 求 dr (2) y=0 0 求 解(1)设方程组确定的隐函数组为 边关于x求导,得 2=2(x)对方程组两 dy az 2x+2 dxa 解此方程组得a=2=是 (2)方程组关于x求偏导,得 0 解得:=2+,0=2n2+x 方程组关于y求偏导数,得 2-x23=0 解得9=2+y (3)把u,v看成x,y的函数,对x求偏导数 1)+g2(2 82
第十八章隐函数定理及其应用 (1-2vg2)f1-f2gt 解之得x-(1-x/1)(1-2vg2)-/2g1 (1-xf1)g1+a/1g1 x(1-xf1)(1-2vyg2)-f2g1 3.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数 (1)/x=e ur, uy, Ux,U uCoS (2)y=u2+v2,求 争解(1)只(x,y=[1+“sin-c"syla,所以由反函数组定 u, U aya(x,y aa(,v)=1+c( a( csv"e au a(u, v) [1+e"(sinv-cosv)Ju axa(x, y) CSU av a(u, v)1+e"(sinv-cosv) e"+ sinU )[1+e(sinv-cosv)]u -t Ur, (2)关于x求偏导数,{0=20x+20mx,,解之得x=-3 +3 4.设函数z=z(x,y)由方程组 x=e+,y=e",z=v(u,v为参量)所定义的函数,求当 =0,v=0时的dz 解因dz=z2dx+zy zx=urU+ uur, zy =uu+uT 所以当=0,v=0时,dz=0 5.设以t,v为新的自变量变换下列方程 (1)(+y)3z-(x-y 3z=0, i u=InV2+2,v=arctan y 474
82隐函数组 x2yay2=0,设a=xy,D=2 解()一2,B=x+y az au az a 所以 y du dy dv dy ay at22g2 a az a 代入原方程,并化筒得 'au d (2)x=22+02=ya119 所以 dt a2z a a2z au a2 auav arava d三+2 dudu d. u dy audi dy auav ay ax ay 22 将上述,。代入原方程并化简得 a4 即2 6.设函数u=u(x,y)由方程组 u=f(r,, 2, t),g(y,z, t)=0,h(a, t)=0 所确定,求和2y 解方程组分别关于x,y求偏导数 475
第十八章隐函数定理及其应用 丘++f a2 由g a =0 十 解得 fr f,+ f av+ fe 由gy+g=3+ = = 解得 0y=+((h,f)/2(g,h) z, t 7.设 y=y(s,t),z=z(s,t)都具有连续的一阶偏导数证明: a(,)(u1v)9(x1y)+(,v)9(y,2)+9(a,)9(x,x) a(s, t)a( (y,z)3(s,t)a(z,x)3(s,t) 证右端 Ur WylLys y : xys ur t u t u,y u,zs t urts urEt u,zs+ UT, Ut t Urt (2x,+y2+u4x2)(vx1+M+vz)-(u2x2+ay+4y 2)( 左端 8.设以=y,v=x证明:当0<x<2,y>0时,a,可 tan Z