例题2判断向量=(0,4,2)是否是向量组1=(1,2,3)， a2=(2,3,1),3=(3,1,2)的线性组合？ 解：先假定a=几，a,+2+ag,即 0,4,2)=2(1,2,3)+22(2,3,1)+元3(3,1,2) =(21+222+323,221+322+23,3元1+22+223) 因此 2+222+323=0, 2元+3九2+23=4， 321+元2+223=2
1 2 3 (0,4, 2) (1, 2, 3) (2, 3,1) (3,1, 2) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( 2 3 , 2 3 , 3 2 ) 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2. 解：先假定 11 22 33，即 (2,3,1), (3,1,2) ? 2 (0,4,2) (1,2,3), 2 3 1 的线性组合 例题 判断向量 是否是向量组
由于该线性方程组的系数行列式 123 231: =-18≠0， 312 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 九1=1,22=1，元3=-1 于是a可表示为C=01+02-03
由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3 1, 1, 1 于是可表示为 1 2 3
二、线性相关和线性无关 1.定义2.3.2设n维向量组1,2，am，如果存 在不全为0的m个数k1,2,.,km,使得 k1C+k2必2+.+kmam=0 则称向量组%1,2，m线性相关，否则称它们线性 无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论：
1.定义2.3.2 设n维向量组1 , 2 ,., m ，如果存 在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性 无关. 二、线性相关和线性无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:
()含有零向量的向量组必线性相关 (2)如果向量组a1,%2,0nm中有某两个向量a=kcg ()，对应成比例，那么向量组%1,2，m线性 相关； (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的. (4)只有一个向量α的向量组线性相关的充要条件是 0=0;
(4)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是 =0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=kj (i≠j) ，对应成比例，那么向量组1 ,2 ,.,m线性 相关 ; (1)含有零向量的向量组必线性相关. (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的
2向量组线性关系的判定 向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 1C1+x202+.+xnan=0 = j=1,2n a1X1+a12X2+.+a1nxn=0 0 a21X1+a22X2+.+a2mXn=0 0 0 am+am2X2++amxn=O 0
向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a 0 0 0 0 1 1 2 2 0 n n x x x 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 2.向量组线性关系的判定