J.-号(9)注意J，和P，通过式(2)和(9)自动地服从连续性定律，它与电荷守恒方程(2.3.3)有相同的形式。J,+02=0(10)因此我们可以把在材料媒质中电荷转移的速率看作是由不成对电荷的也流密度J。和极化电流密度J，组成，各自服从它自已的守恒定律。这也是由安培定律稳含的，象现在这样推广到包括极化的效应。在EQS 近似法中，磁场强度一般不是所关心的，所以安培定律是次要的。但如果要确定H,J，就会作出贡献。这就是说，由式(2.6.2)所给出的安培定律现在将电流密度分成成对的和不成对的两部分来重写。当后者由式(9)给出时，推广到包括极化的安培微分定律是V×H=J.+%(eE+P)(11)无论是否作了准静态近似，这个定律都是有效的。但是，在EQS近似法中，一一般所关心的是电葡守恒的含意。这样,式(11)的散度在左边得零,考虑到式(1)、(2)和(9),表达式变成VJ.+e+ VJ,+e=0(12)因此，当时(11)式加上极化电流密度时，安培定律的散度给出极化电荷的守恒方程式(10)，和不成对电荷的守恒方程Ja+g=0(13) 之和。在本章的剩余部分,将假定在极化材料中,P一般为等。因此要到第7章中，（13)式才会起作用。位移通量密度在主要处理与场有关的极化现象时，一般把出现在高斯定律和安培定律中的物理量的组合，定义为位移通量密度D。t+3(14)D=FE+P我们把P看作是表示物质的，而把E看作是由外部的源引起的场量，并且源是在物质内。?这就提议D应被考虑成一个“混合"量。不是所有的电磁学教材都采取这个观点。我们把出现在麦克斯韦方程组中所有的量区分为场的量和物质的量，将有助于构筑场与物质相互作用的模新型。当p,用式(2)代替时，商斯定律(1)可以由式(14)定义的D写成(15)V.D=pu同时有关的连续性条件式(3)，当g.p用(4)代替时,变成· 163·
(16)n(D"-D)=GauD的散度和D在法向的跃变可确定不成对的电荷密度。在白由空间和物质中，式(15)和(16)不变形式，都成立。要使定律适合于自由空间，只要置D=e.E。安培定律也能方便地用 D表示。将式(14)代入(11),得VXH=J.+@D(17)现在位移电流密度aD/at中，包括了极化电流密度。6.3永久极化通常，极化取决于电场强度。，但是，在有些材料中，永久极化被“冻结”在材料中。理想情况，这意味着P(r，t）被规定为与E无关。用来制造话简和电话话筒的驻极体，往往用这种方式模拟当P是空间的、也许述是时间的给定函数时，极化电荷密度和极化面电荷密度分别可由式(6.2.2)和(6.2.4)得出。如果在整个材料中不成对的也御密度也给定，高斯定律中的总电荷密度和高斯定律的连续性条件中的面电荷密度就是已知量。[式(6.2.1)和(6.2.3）的右边已知。]这样，永久极化问题的摘述就可按照第4和5章中所用的相同的格式进行。本节中的例于试图得出对极化强度P,极化电荷密度p，和电场强度E之间的关系的评价。应该认识到一且P，从给定的P确定，第4和5章中的方法是直接可应用的。成对的和不成对的电荷问的区别有时是纯理论性的。使绝缘材料承受非常大的场，特别在高温下，可能追使分子或分于畴进人极化状态，并能在较低的场和温度下维持一段时间。把这看成是永久极化状态是很自然的。但是，如果离子被用来碰撞材料的表面，它们能够形成永久电荷的位置，当然，这些离了的起源使人想到它们可被看作是不成对的。然而如果材料吸引其他电荷而变成中性的，象它试图做的，这些永久电荷也能被看成是由于极化造成的，并用永久极化电荷密度表示在本节中，EQS定律占优势。这样，如果在整个所关心的区域内（不包括包留的边界：电荷密度都给定，E=-v0(1)V=-(pu+pp)(2)现在要考虑类似于图6.1.2中定性地描绘的那个例子。通过把均匀极化材料制作成球形的办法，可能获得场的分布的简单解答。例6.3.1永久极化球一-半径为R的材料球沿2轴均勾极化，(3.PPt.+ 164
给定周围的区战是白由空间，没有附加的场源，由这个永久极化产生的电场强度E是什么？布。在体积内，P的负散度为零，所以没行体极化电尚一步是在材料体积内和它的表面上确定P，的分不密度，见式（6.2.2)。当P用笛卡儿坐标系书写时，这是明显的，用球坐标分量表示时，就不大明显4P-Pocosdi,-Pasinfi,P的法向分量的突变需要极化面电荷密度。这些是用式(4)在T=R处计算(6.2.4)式的连续性条件得出的，该处法向分量是i,，且区域(a)是在球的外面。(5)Oan-P.coat这个面电荷密度产生E。既然场源已经确定，情况问复到很象习题5.9.2 所说明的那样。在内和在周围的自由空间内，电位都必颈满足拉普拉期方程，即Pa+0,-0时的式(2)。在r=RB处由式(1)和(2)隐含的连续性条件［式（5.3.3）和(6.2.3)了，如用史表示，用式(5)计算后者时，是(6)@(7)-+-Pcoso式中上标(0)和(i)分别表示球外和球内区）由这个电位所表示的E场的源是随θ作余弦变化的百极化电荷密度。如果拉普拉斯方程的两个球坐标解答(根据5.9节)具有与的依从关系是cose,满足边界条件式(6)和(7)能的。由于球外区域没有源，所以当 r→时,电位必须趋于零。有 cos 相关性的两个可能的解答中,偶极子场用于球的外部。00=ACOs(8)在球的内部,电位必须是有限的,因此这个解答排除在外。解答是(9)i-Brcog它是均匀电场强度的电仪。将这些表达式代人违续性条件式(6)和(7),得到的表达式可以提出公因子 coag。这样，在面上的每一点能满足近界条件，如果(10)A-BR-0(11)20A+o=P.由这两个表达式可解出4和B，把它们引入式（8）和（9）可得出电位分布0-Pa e(12)(13)EIn51a-rcosi最后，取此电位的负梯度，就得到所要求的电场分布E-PR(20i,+ sino01)(14)2Paa(15)EI-( costi,+sindia)茶当极化强度的分布如插图所示时，图6.3.1表示这个电场强度。E线起翁于正电荷利终止于负电荷不是意外的。极化强度起始于负极化也荷和终,旺于正极化电荷。致后得到的电场是典型的，因为在球的外部恰好是位于原点的偶极子的电场，而在球的内部是均匀场。下原点的偶极了，产压和均句极化球的外部用周的电场，其极矩是什么！这可以从化较（12)租（4.4.10)两式看出。155
(16)IP-→tRP.偶极矩筒单地就是体积乘以均勾极化强度在下一个例子中有两个新的要点。第一，所关心的区域的边界上电位是受约束的。第二，给定的极化强度描述极化电荷密度的体分布而不是面分布。例 6. 3. 2 具有给定边界条件的体极化电荷引起的场在平面3=士α内的平行平面电极被约束处于零电位。在电极间的乎面区域内，极化强度是空间的周期函数P=-ifgsin p2(17)我们希望确定场的分布。"图 6. 3. 1 具有均匀极化强度的永久极化腺的等位线和电场强度线。插图示出极化强度和相关的询极化电荷密度首先，通过取(17)的负散度[把(17)式代入(6.1.6)式了确定极化电荷密度的分布(18)Op=pocosBa所求得的极化强度和极化电荷密度的分布示于图 6. 3. 2(Po<0)。现在情况间复到求解拍松方程,给定这个额分布,并且在 3一±4 的边界上服从举电位条件。这个问题和例5,6.1中所考虑的相同。电位和场都是图5.6.2中措述的特解和齐次解的登加。一个例子说明永久极化如何与机械变形一起产生有用的电信号。E图6.8.2周期分布的极化强度和相关的极化电待临度图6.3.3驻极体话简的横截面P<0）产生图5.6.2所示的电位和场。例 6, 3. 3胜极体话图6.3.3中示街的核截面是厚度为4的永久极化材料凝片。它的下面由电位为的周定电极界定，上面由空气隙界定。在此气隙的另一边是导电的接地膜，它作为话伤的可动充作。它被安装在支架上以便经受位移。这样，间隙为二h(1)。如已知为(t),在负载电阻R两端得到的电压是什么！在片中，极化强度是均勾的，最值为P，方向从下电极指上也极。这个欠龄没有散度，所以式(6.1.6)的￥166
计算表明在片的体积内，极化电荷密度为零。在驻极体空气隙界上的极化尚电荷潮度，可从(6.1.7)式得剂为P-Pn因为α，是均的，并且等电位边界是平行平面的，空气赋[区域（a)1中和驻极体[区域(b)中的电场都可看成是均勾的。E=i, R; d<r<h(20)lEb;0<r<d形式上，我们刚在各个整体区域中解山了拉替拉斯方程。场B，和E，必须满足两个条件。首先，电极间的电位差是 ,所以f'E,da-dEp+(h-)E(21)其次，在驻极体空气隙界面处的高斯跃变条件式(6.2.3)要求术(22)E,-FEL=P联立求解以上这两个表达式,得到用≥和A表示的电场。-++老(23)Es-号-h-d P(21)求得的场量在图 6.3.4中说明。图(a)中所示的均匀的P和有关的0s，与下电极上:和 1:膜,L:的不成对电荷结合在一起产生的电场示于图(b)。在此图中,假定。是正的和(在一d)P,/e>n。在空气中，电摄上不成对电荷引起的场加强了口引起的汤，而在驻极体中，它反对0引起的指向向下的场为了计算图6.3.3中规定的电流，下电极和驻极体用一表面9包面，并且应用高斯定律来计算被包国的不感对电荷。V.(eE+P)=p,-d (e,E- P).nde(25)葡S究竟么样切过系统，无类聚要。这里我们把面取威通过（随包围下电极。从式(24),可衍不成对电荷是1=Aof-e(0+aP(26)式中4是电极的面积不成对电荷的守恒要求电流等于在下电极上总的不成对电荷的变化率=%(27)当电阻器连接到端钮上时（由话简激动的放大器的输入电阻，电压和电流还必须满足欲姆定律(28)最后这三个关系式结合在一起,在h(0)给定时,可得出 D(t)的表达式。--(+a+4%(29)1E-7logcPLW-/RC.cge(6)图6.8.4（a驻极体话简中极化强度和面电荷密度的分布，图6.3.5施加膜位移的驻极体话简的顾率购应)电场强度和面锻化电补以及不成对的电荷。+167