指数函数的极限和值域性质 指数函数f(x)的极限性质(a>1) (1)f(x)→>+∞(x->+∞) (2)f(x)>0(x->-0) 证明:由单调性和f(x)=1/(x),只要证明fn)→ +∞(n→>+∞)就够了,这是有关a^n极限的推论# 指数函数的值域f(R)(O,+∞) 证明:由指数函数的正性f(R<(0,+∞)假设r>0, r≠f(R)记α=sup{x|f(x)<r},β=inf{x|f(x)>r};必 有a=B因此α点不连续矛盾# 16
16 指数函数的极限和值域性质 • 指数函数(x)的极限性质(a>1): – (1) (x) → + (x→ +); – (2) (x)→0 (x→ −) • 证明: 由单调性和(-x)=1/(x), 只要证明(n) → + (n→ +)就够了,这是有关a^n极限的推论. # • 指数函数的值域(R)=(0,+). • 证明: 由指数函数的正性(R)(0,+).假设r>0, r(R),记=sup{x | (x)<r}, b=inf{x | (x)>r}.必 有=b.因此在点不连续,矛盾.#
自然对数函数 考虑a=e的情形,此时的指数函数记作exp(x,记 其在(0,+∞)上反函数为n(x),叫作自然对数函数 1.ln(x)严格单调,n(0)=-∞,n(+∞)=+0.# 2.n(x)在(0,+∞)的每一点都连续 证明:取x∈(0,+∞)任取E>0, 令δ= min exp(n(x)+8)-x,x-exp(n(x)-8)} 当x-X6时,exp(ln(xo)-8)x<exp(ln(x)+8) 也就是n(x)-8-n(x)n(xo)+.# 17
17 自然对数函数 • 考虑a=e的情形, 此时的指数函数记作exp(x).记 其在(0,+)上反函数为ln(x),叫作自然对数函数. • 1. ln(x)严格单调,ln(0+)=−, ln(+)=+ . # • 2. ln(x) 在(0,+)的每一点都连续. • 证明: 取x0(0,+). 任取e>0, 令d=min{exp(ln(x0 )+e) −x0, x0−exp(ln(x0 )−e)}. 当|x-x0 |<d时, exp(ln(x0 )−e)<x<exp(ln(x0 )+e) 也就是ln(x0 )−e<ln(x)<ln(x0 )+e. #
对数函数和幂函数 对于a>0,a≠1,指数函数和相应的对数函数 xINx x exp(x In a); log, x 指数的运算规则:(n)y=ehm=em=a 幂函数:设a∈R,指数为c的幂函数可以写为 f(x)=x“=ehn 更一般地:f(x)=l(x)x)=e3)x 利用复合函数可以讨论它们的定义域和连续性
18 对数函数和幂函数 • 对于a>0, a1, 指数函数和相应的对数函数 • 指数的运算规则: • 幂函数: 设R, 指数为的幂函数可以写为 • 更一般地: • 利用复合函数可以讨论它们的定义域和连续性. a x a e x a x a x x x ln ln exp( ln ); log l n = = = ( ) y a yx a xy y x a e e a x = = = l n l n x f x x e ln ( ) = = ( ) ( )l n ( ) ( ) ( ) v x v x u x f x = u x = e
三角函数 三角函数连续性的讨论是基于下面的利用三角 函数的单位圆描述得得到的几何事实x∈R, sinx≤×,以及|sinx, COS X<1 正弦函数:利用 sin x-sin y=2sin(xy)/2cos(xy)/2; 余弦函数利用 cOS x-cos y=2sin(y-x)2sin(x+y)/2; tanx,cotx,secx和csx利用其与正弦和余弦的 关系及连续函数的算术性质 19
19 三角函数 • 三角函数连续性的讨论是基于下面的利用三角 函数的单位圆描述得得到的几何事实: xR, |sin x||x|. 以及|sin x|, |cos x|1. • 正弦函数: 利用sin x-sin y=2sin(x-y)/2cos(x+y)/2; • 余弦函数: 利用cos x-cos y=2sin(y-x)/2sin(x+y)/2; • tan x, cot x, sec x和csc x利用其与正弦和余弦的 关系及连续函数的算术性质
习题十 1.用定义验证下列函数再起定义域上是连续的 (1)fx=e2;(2)f(x)=Sn(e^),(3)fxy)=x 2.证明:(1)x∈(O,1,nx<0;(2)x>1,lnx>0 B)lm In x=-00;(4)lim h x=+oo x→ x→)+00 3.讨论幂函数f(x)=x“在区间(0,+∞)的单调性, 即,对于那些a,有Yx>y>0,f(x)>y对于那些a, 有Yx>y>0,f(x)<f(y
20 习题十二 • 1. 用定义验证下列函数再起定义域上是连续的. • 2. 证明：(1) x(0,1), ln x<0; (2) x>1, ln x>0; • 3. 讨论幂函数 在区间(0,+)的单调性, 即, 对于那些, 有x>y>0, (x)>(y);对于那些, 有x>y>0, (x)<(y). (1) ; (2) ( ) sin( ); (3) . 2 2 f(x) e f x e f(x) x x x = = = (3) lim ln ; (4) lim ln . 0 = − = + → →+ + x x x x f (x) = x