第四节 数的单调性与 曲线的凹凸性 、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
1 第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性
、函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)內可导, 若f(x)>0(f(x)<0),vx∈(a,b), 则∫(x)在[a,b]上单调增加(减少) 证:不妨设f(x)>0,x∈(a,b),则 x,x2∈[a,b](x<x2),由拉格朗日中值定理得 f(x2)-f(x)=f()(x2-x1)>0 5∈(x1,x2)c(a,b) 故∫(x1)<f(x2).这说明f(x)在内单调增加
2 一、 函数单调性的判定法 若 定理 1. 设函数 则 在[a, b]上单调增加 ( ( ) 0), f x (减少) . 证: 不妨设 则 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调增加. 在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导
例1确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解:f(x)=6x2-18x+12=6x-1)x-2) 令∫(x)=0,得x=1,x=2 x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞) 0 f(x) 故f(x)的单调增区间为(-∞,112,+∞); f(x)的单调减区间为,2 2x
3 例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 ( , ], − 1 [ , ); 2 + 的单调减区间为 [ , ]. 1 2 1 2 o x y 1 2
说明: 1)单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点 例如,y=3x2,x∈(-∞,+∞) 33x x 0=0 2)如果函数在某驻点两边导数同号 x 则不改变函数的单调性 例如,y=x3,x∈(-∞,+∞) O y1=3y2 y x=0 0
4 y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x
例2证明0<x≤时成立不等式$x22 证:令f(x) sInx 2 x 则f(x)在(0,上连续,在(0,2)上可导,且 f(x)=xcos X-sinx_ COS(x rso L Bg 2 2 X 因此f(x)在(0,上单调减少 tan x 2 f(x)在取得最小值,因此f(x)≥f()=0 sin x 2 从而 xX丌 x∈(0
5 例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证明 上单调减少